容斥原理问题.doc

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1、容斥原理问题——基础学习一、解答题2、两个集合容斥原理例1：四年级一班有54人，定阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订阅《小学生优秀作文》的有45人每人至少订阅一种读物，订阅《数学大世界》的有多少人？（）A．13B．22C．33D．41【答案】B【解题关键点】设A={定阅《小学生优秀作文》的人}，B={订阅《数学大世界》的人}，那么A∩B={同时订阅两本读物的人}，A∪B={至少订阅一样的人}，由容斥原则，B=A∪B+A∩B-A=54+13-45=22人。【结束】3、两个集合容斥原理例2：五年

2、级有122名同学参加语文、数学考试，每个至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学成绩优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？（　）A．30B．35C．57D．65【答案】A【解题关键点】此题是典型的两个集合的容斥问题，因此，可以直接有两个集合的容斥原理得到，语文和数学都优秀的学生有65+87-122=30人。【结束】4、两个集合容斥原理例3：学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手提琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两样都会的有8人。这个文艺组共有多少人？（）A．25B．32C．3

3、3D．41【答案】C【解题关键点】设A={会拉手提琴的}，B={会弹电子琴的}，因此A∪B={文艺组的人}，A∩B={两样都会的}，由两个集合的容斥原理可得：A∪B=A+B-A∩B=24+17-8=33。【结束】5、两个集合容斥原理例4：某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的人有23人，两题都答对的有15人，问多少个同学两道题都没有答对？（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解题关键点】有两个集合的容斥原理得到，至少答对一道题的同学有25+23-15=33人，因此两道题都没有答对的同学有

4、36-33=3人。【结束】7、三个集合容斥原理例1：某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不交三门课的外语教师有多少名？（）A．12B．14C．16D．18【答案】B【解题关键点】此题是三个集合的容斥问题，根据容斥原理可以得到，至少教英、日、法三门课其中一门的外语教师有50+45+40-10-8-4=106，不做这三门课的外语教师人数为120-106=14名。【结

5、束】8、三个集合容斥原理例2：对厦门大学计算机系100名学生进行调查，结果发现他们喜欢看NBA和足球、赛车。其中58人喜欢看NBA；38人喜欢看赛车，52人喜欢看足球，既喜欢看NBA又喜欢看赛车的有18人，既喜欢看足球又喜欢看赛车的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看足球的有（）。A．22人B．28人C．30人D．36人【答案】A【解题关键点】求只喜欢看足球的，只要种人数减去喜欢看NBA和喜欢看赛车的，但多减去了既喜欢看NBA又喜欢看赛车的，再加回去即可，100-58-38+18=22人。【结束】9、三个集

6、合容斥原理例3：实验小学举办学术书法展，学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展作品共有20幅。一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅。一、二年级参展的书法作品共有多少幅？（）A．6B．10C．16D．20【答案】A【解题关键点】28幅不是五年级的，也就是六年级+其他年级=28幅；24幅不是六年级的，也就是五年级+其他年级=24幅；上述两个式子相加得，（五年级+六年级）+2×其他年级=28+24，因此其他年级的有（28+24-20）÷

7、2=16幅，又因为一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展的作品总数少4幅，因此一、二年级参展的书法作品共有（16-2）÷2=6幅。【结束】10、三个集合容斥原理例4：某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语;有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语;有1人这三种语言都会说。则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多()。A.1人B.2人C.3人D.5人【答案】C。【解题关键点】如图所示：上图的含义为只懂英语、法语和西班牙语的人数分

8、别人2、1和2，共5人，而一种语言都不会说的人数为12-(2+2+1+1+1+1+2)=2(人)，5-2=3(人)。【结束】