高等数学 常微分方程的基础知识和典型例题.doc

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1、常微分方程一、一阶微分方程的可解类型(%1)可分离变量的方程与一阶线性微分方程1.(05,4分)微分方程xyf+2y=xx^足y(l)=—£的解为分析:这是一阶线性微分方程•原方程变形为©+?y=1“,两边乘*得dxx—(x2y)=x2Inx.clx积分得x2y=C+jx2Inxdx=C+-jinxdx3=C+-x3lnx--x3.由y(l)=一丄得C=0二>y=-xx--x.•9392.(06,4分)微分方程『二理二9的通解为分析:这是可变量分离的一阶方程,分离变量得—=(―-l)</r积分得lnlyl=Inx-x+Cr即y=ec'xe~x.yx因此,原微分方程的通解为y=C

2、疋二其屮C为任意常数.(%1)奇次方程与伯努利方程1.(97,2,5分)求微分方程(3a;2+2xy-y2)dx+(x2-2xy)dy=0的通解.解:所给方程是奇次方程•令y二翩,则狞二兀血+加儿代入原方程得3(1-Fu-u2)dx^x(l~2u)du=0.分离变量得-}-2l-du=--dx,l+w-iCx积分得lnl+«-/=-3In

3、x+C,,HP1+w-w2=Cx~3.以弘=上代入得通解x2+A7-rXX2.(99,2,7分)求初值问题°)心逊匸°。>°),的解.解:所给方程是齐次方程(因心dy的系数(y+g+j)与(-£都是一次齐次函数).令dy=xdu+udx,带入得x(u

4、+Jl+u2dx一x(xdu+udx)=0,化简得Vl2+u2dx-xdu=0.分离变量得--7^=0・兀Vl+w2积分得lnx-ln(”+Jl+/)=G即h+J1+h2=Cx.以U=2代入原方程通解为y+J/+y2=Cx2.再代入初始条件)*=0,得C=1.故所求解为y+a+b*或写成)=*(/_]).(%1)全微分方程练习题(94,1,9分)^f(x)具有二阶连续导数,f(0)=0,f(0)=l9且[xy(x+y)~f(x)y]dx+[/z(x)+x2y]dy=0为一全微分方程,求/(兀)以及全微分方程的通解解:由全微分方程的条件,冇-^-[xy(x+y)-f(x)y]=?[广(x)

5、+x2y],oyoxBPx2+2xy一f(x)=广'(x)+2xy,亦即+f(x)=x2.因而了(兀)是初值问题]的解'从而解得/(x)=2cosx+sinx+x2-2.原方程化为[x)“+2y-(2cosx+sinx)y]dx+(x2y+2x-2sinx+cosx)dy=0.先用凑微分法求左端微分式的原函数:(—y1dx1+—x2dy2)+2(ydx+xdy)-yd(2sinx-cosx)-(2sinx-cosx)dy=0,172d[—x~y+2xy+y(cosx-2sinx)]=0.其通解为—十)“+2xy+y(cosx-2sinx)=C.(%1)由自变量改变量与因变量改变量之间的关

6、系给出的一阶微分方程4.(98,3分)已知函数)?=);(兀)在任意点x处的增量△)=—Ax+Q,当AxT0时,•■'1+jtq是Ax的高阶无穷小,y(0)=7T,贝⑴等丁()(A)2”・(B)龙.(O可(£>)亦匚分析:由可微定义,得微分方程)/=丄.分离变量得1+JT空=总7,两边同时积分得ln

7、y

8、=arctanx+C,即"Cea,c,anv.代入初始条件y(O)=;r,得Cw于是)心)=龙严沁,由此,y(l)=心4.应选(£))二、二阶微分方程的可降阶类型5.(00,3分)微分方程兀y"+3#=0的通解为分析:这是二阶微分方程的一个可降阶类型,令V=P(x),贝i」y"=P',方

9、程可化为一阶线性方程2CxP+3P=o,标准形式为p+2p=o,两边乘疋得0V),二o.通解为y=p=^.XX再积分得所求通解为y=2+G.6.(02,3分)微分方程吵+产0满足初始条件y

10、x=0=l,/v=0=-的特解是分析:这是二阶的可降阶微分方程.令V=P(y)(以y为自变量),则y“=罕二性P瑋・dxdxdy代入方程得〃兰+P2二0,即y兰+P二0(或卩二0,,但其不满足初始条件几一。=丄).dyay2分离变量得—=0,py积分得ln

11、P

12、+lny=Cr,即P$(P二0对应G=0):y由兀=0时〉‘=1,卩二才=穆,得(7[=+,于是y=P=—,2ydy=dx、积分得y?=x

13、+C?2y乂由儿=o=1得C?=1,所求特解为y=+x.三、二阶线性微分方程(一)二阶线性微分方程解的性质与通解结构7.(01,3分)(C,sinx+C2cosx)(C,,Cjj任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为.分析一:由通解的形式可得特征方程的两个根是斤,r2=±i.从而得知特征方程为(r-/])(r-ri)=r2-(a;+r2)r+r}r2=r2-2r+2=0.由此所求微分方程为/-2./4-2.v=

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