高数小论文-浅谈二重积分.doc

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1、高等数学论文——浅谈二重积分听了肖老师整个大一的数学课，让我深刻的感觉到数学的世界是多姿多彩的，数学的语言的优雅完美的；正如老师所说的一样，他的数学课就像是一篇散文。原来，数学还可以这么学。用儿个简单的数学方程，在空间中组合成一个个灵动的图形，这便是二重积分，这也是我想和大家一起分享的解题心得。首先让我们明确定义：有界函数/（兀刃在有界闭区域D上的二重积分为PH嚨心“其中，”的直径的最大者，即分割的细度，几何意义：若/（兀*）〉°,则卩表示以D为底，以S）为顶的曲顶柱体体积。接着分享一下按区域类型化为二次积分的方法:第一种：在直角坐标系下，要将原积分化为二

2、次积分，首先需画出积例如\f{x.y)dxdy.d其中,直线H+H=1围成。经分析，该区域D是由分区域的图形，然后再根据积分区域的类型，化为二次积分。x+y=,x-y=,x+y=_1，一兀+y=1四条直线共同围成的正方形区域，该区域不是X型积分区域，也不是Y型积分区域，但以x轴或者y轴来分割，可将其划分为两个Y型区域或X型区域，如上图D}={(x,y)O

3、x,y)dx二重积分化为二次积分时，不管选择哪一种积分次序，内层和外层的积分都必须上限大于下限，外层的积分限必须是确定的常数，决不能依赖于内层积分限、一般情况下，内层积分的积分限可以依赖于外层积分的积分变量。如果是Y型区域，射线从左向右穿过区域D,左侧的穿入点满足的曲线方程尤产朮必右侧的穿出点满足的曲线方程兀2“2(刃分别是内层积分的积分下限，积分上限；如果积分区域为X型区域，则按从下向上穿线的方法来寻找内层积分的积分下限与上限。第二种：某些时候，按给定的二次积分次序积分吋，无法积分或者积分比较困难时，则可以通过交换积分次序进行积分，一般地，先由给出的二次

4、积分恢复出二重积分的积分区域，然后再按二重积分化为二次积分的方法化为另一次序的二次积分。例如二次积分兀，由于x的原函数不能用初等函数表示，故内层积分不可行，必须交换积分次序才能求值，注意到内层积分限分别是rY,外层积分限是y==i从而积分区域是由直线y=0,y=l,“y及抛物线围成，如右图所示：改成X型积分区域，先对y积分，再对x积分，则=f(sinx~xsinx)dx=1-sin1但这里还应该注意，有时候给出的二次积分的积分限不一定是上限大于下限，例如外层积分的上限大于下限，但是内层积分的下限大于上限时，需将得到的二重积分在化为另一个二次积分时,将内层积

5、分限做-调换,如T町竽M订严通过这一个学期的学习，让我对自己的数学水平有了进一步的提高，对数学的认识有了很大的改观。在以后的学习中我会更加努力,更加认真细致的做好每一步。土木工程学院1103306彭新2012.5.27