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《高中数学 113导数的几何意义教案 新人教A版选修2-2.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.1.3导数的几何意义教学目标1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2・理解曲线的切线的概念；3.通过函数的图像直观地理解导数的儿何意义，并会用导数的儿何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的儿何意义；教学难点：导数的儿何意义.-教学过程：一.创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示两数/'（x）在石狗处的瞬时变化率，反映了函数尸在尸/附近的变化情况，导数广（无。）的儿何意义是什么呢？（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当鬥（£』（£））（〃=1,2,3,4）沿着曲线/⑴趋近于点P（AO,/（
2、XO））时，割线P巳的变化趋势是什么？图3.1-2我们发现，当点P,沿着曲线无限接近点户即△x->0时,割线PPu趋近于确定的位直，这个确定位置的直线称为曲线在点尸处的切线.问题：⑴割线P化的斜率心与切线〃的斜率£有什么关系？⑵切线的斜率k为多少？容易知道，割线PE的斜率是匕严叽二心，当点人沿着曲线无限接近点戶时，枕无限£一兀0趋近于切线尸卩的斜率R,即£=lim/（兀廿山匕/（P）=广（）心->0Ar说明：（1）设切线的倾斜角为。，那么当△X-0时，割线PQ的斜率，称为曲线在点尸处的切线的斜率.这个概念：①提供了求Illi线上某点切线的斜率的一种方法；②切
3、线斜率的本质一函数在x=x（）处的导数.（2）曲线在某点处的切线：1）与该点的位置有关;2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的;如不存在，则在此点处无切线⑶
4、]
5、
6、线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，其至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数尸fd）在尸Ab处的导数等于在该点处的切线的斜率，即广（和=向"5+心）一°心toAa说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：%1求岀P点的坐标；%1求出函数在点兀处的变化率广（兀o）=lim/CV"）二兀勺）寸,得到曲线在点心TOAjc（XoJGo））的切线
7、的斜率；%1利用点斜式求切线方程.（二）导函数：由函数在尸乂处求导数的过程可以看到，当时，广（兀0）是一个确定的数，那么，当/变化时，便是X的一个函数，我们叫它为f（x）的导函数.记作：广（x）或；/,即：广（无）=甘=1曲/山）二/（力•xtoAr注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.（三）函数/©）在点心处的导数广（勺）、导函数广（劝、导数之间的区别与联系。1）函数在一点处的导数广（勺），就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数3）函数/⑴在点心处
8、的导数f（勺）就是导函数广⑴在x=x（）处的函数值，这也是求函数在点兀°处的导数的方法之一。%1.典例分析例1:（1）求曲线尸才3二/+1在点尸（1,2）处的切线方程•（2）求函数尸3,在点（1,3）处的导数.limM-»02Ax+Ax~=lim心Ar=2,所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为y-2=20-1）即2无-y=03x-3r3(x-1)(2)因为y'I.=lim=lim=lim3(x+l)=6x->lXx->lXxtI所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y—3=6（兀—1）即6兀—y—3=0（2）求函数A%）=-x2+x在x
9、=-1附近的平均变化率，并求岀在该点处的导数.解：冬=-（-1+3+（-1+心）-2=3仙AxAx广（-1）=lim冬二-（-1+心）2+（-1+心）-2=］曲（3_心）=3心0AxAx・20例2・（课本例2）如图3.1-3,它表示跳水运动屮高度随吋间变化的函数即函数/?（%）=—4.9疋+6.5x+10在/=儿附近单调递减.（3）当t=t2时,曲线加。在A处的切线人的斜率Wo）＜0,所以,在心匚附近曲线F降,即函数h（x）=—4.9兀2+6.5兀+10在ff附近单调递减.从图3.1-3可以看出，直线厶的倾斜程度小于直线厶的倾斜程度，这说明曲线在厶附近比在-
10、附近下降的缓慢.例3・(课本例3)如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c=/(/)(单mg/mL)随时间t(单位：min)变化的图象.根据图像,估计/=0.2,0.4,0.6,0.8吋，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1).c(mg/mL)解：血管屮某…时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度/(/)在此时刻的导数，从图像上看，它表示曲线/(/)在此点处的切线的斜率.如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.作r=0.8处的切线，并在切线上去两点，如(0.7,0.91),(1.0,0
11、.48),则它的斜率为：;0.48-0.91f/k=
