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1、广东省广州市南沙区2016-2017学年高二数学下学期期中试题理（满分150分，时间120分钟）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确选项的代码填入答题卡上）1．下列求导运算正确的是（ ）A. B.C. D.2．是虚数单位，复数（）A．B．C．D．3．由直线，，曲线及轴所围图形的面积是（）．A.B.C.D.4．曲线在点处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°5．已知双曲线的一条渐近线方程为,,分别是双曲
2、线的左，右焦点,点在双曲线上,且,则等于A．B．C．或D．1或6．函数的单调递增区间是A．B．（0，2）C．（1，3）D．7．设是函数的导函数,的图象如左图所示,则的yxO12-2图象最有可能是下图中的（）yxO12-1yxO12-2yxO12-2yxO12-2 9ABCD8．以下命题正确的个数为（）(1)命题“，”的否定为真命题(2)命题“若，则”的逆命题为真命题；(3)命题“若，则”的否命题为真命题；(4)命题“若，则”的逆否命题为真命题.A．1B．2C．3D．49．用数学归纳法证明：，第二步证明“从到”，
3、左端增加的项是（ ）A． B． C． Ｄ． 第10题10.从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，又点A是椭圆与轴正半轴的交点，点B是椭圆与轴正半轴的交点，且为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）．A.B.C.D.11．已知成立,函数是减函数,则是的（）．（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件12.如图，三棱柱中，平面，9，、分别为、的中点.若平面平面，则直线与平面所成角的正弦值是（）．A.B.C.D.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请
4、把正确答案填在题中横线上．）13．计算定积分的值.14．函数在上的最大值为15．已知直线经过抛物线的焦点，与交于两点．若，则的值为16．正三棱柱体积为16，当其表面积最小时，底面边长a＝________.三、解答题：（本大题共6个大题，共70分）17．（本小题满分10分）.求曲线在点处的切线方程18.（本小题满分12分）.已知数列满足，且（）。（1）求、、的值；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明。919．（本小题满分12分）.如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.(Ⅰ)证明:
5、平面;(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.（特别提醒：两条对角线互相垂直的矩形是正方形）920．（本小题满分12分）.已知函数的导函数为，.（1）若在处有极值，求的值（2）若对一切恒成立，求实数的取值范围；21．（本小题满分12分）.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。22．（本小题满分12分）.已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围
6、．9123456789101112AＤＣＢＤＤＡＡＢＣＢＡ13、；14、128；15、；16、417、18、1），，（2）有成立。【解析】解：（1）由题得，又，则，，…………3分（2）猜想。…………………………………5分证明：①当时，，故命题成立。②假设当时命题成立，即………………………………7分则当时，，故命题也成立。…………………………………11分综上，对一切有成立。…………………………………12分19、、解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.9(Ⅱ)由(Ⅰ)可
7、知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是.法1:以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、、、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3.法2:设与交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值为.20、（1）－1；（2）即对一切恒成立即对一切恒成立记，则在上恒成立，921、解：（Ⅰ）设双曲线方程为由
8、已知得故双曲线C的方程为（Ⅱ）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设，则而于是②由①、②得故k的取值范围为22、（1）由题意，可得，当时，由得； 由得综上所述：的单调递增区间为； 的单调递减区间为（2）由（1）知，当时，由得，递增；由得，递减；故有极大值为，极小值为9，要使得在上有三个零点，需满足对任意恒成立。故即9
