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1、Borntowin2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.)(1)函数的无穷间断点的个数为()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.(2)设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解,若常数使是该方程的解,是该方程对应的齐次方程的解,则()(A).(B).(C).(D).(3)曲线与曲线相切,则()(A)4e.(B)3e.(C)2e.(D)e.(4)设是正整数,则反常积分的收敛性()(A)仅与的取值有关.(B)仅与的取值有关.(C)
2、与取值都有关.(D)与取值都无关.(5)设函数,由方程确定,其中为可微函数,且,则()(A).(B).(C).(D).(6)()(A).(B).(C).(D).(7)设向量组可由向量组线性表示,下列命题正确的是()数学（二）试题第14页（共3页）Borntowin(A)若向量组线性无关,则.(B)若向量组线性相关,则.(C)若向量组线性无关,则.(D)若向量组线性相关,则.(8)设为4阶实对称矩阵,且,若的秩为3,则相似于()(A).(B).(C).(D).二、填空题(9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)3阶常系数线性齐次微分方程的
3、通解为.(10)曲线的渐近线方程为.(11)函数处的阶导数=.(12)当时,对数螺线的弧长为.(13)已知一个长方形的长以2的速率增加,宽以3的速率增加.则当时,它的对角线增加的速率为.(14)设为3阶矩阵,且,则=.三、解答题(15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(本题满分11分)求函数的单调区间与极值.(16)(本题满分10分)(I)比较与的大小,说明理由；(II)记,求极限.(17)(本题满分10分)设函数由参数方程所确定,其中具有2阶导数,且数学（二）试题第14页（共3页）Borntowin已知求函数
4、.(18)(本题满分10分)一个高为l的柱体形贮油罐,底面是长轴为,短轴为的椭圆.现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为时(如图),计算油的质量.(长度单位为m,质量单位为kg,油的密度为常数kg/m3)(19)(本题满分11分)设函数具有二阶连续偏导数,且满足等式,确定,的值,使等式在变换下化简为.(20)(本题满分10分)计算二重积分,其中.(21)(本题满分10分)设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且,,证明：存在,,使得(22)(本题满分11分)设,已知线性方程组存在两个不同的解．(I)求,;(II)求方程组的通解.(23)(本题满分11分)设,正交矩阵使得为对
5、角矩阵,若的第1列为,求.2010年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题第14页（共3页）Borntowin数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】(B).【解析】因为有间断点,又因为,其中,所以为跳跃间断点.显然,所以为连续点.而,所以为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】(A)．【解析】因是的解,故,所以,而由已知,所以,①又由于一阶次微分方程是非齐的,由此可知,所以．由于是非齐次微分方程的解,所以,整理得 ,即 ,由可知,②由①②求解得,故应选(A)．数学（二）试题第14页（共3页）Borntowin(3)【答案】(C).【解析】因为曲线与曲线相切,所以
6、在切点处两个曲线的斜率相同,所以,即.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在上,当时；在上,时,.所以.从而解得.故答案选择(C).(4)【答案】(D).【解析】与都是瑕点.应分成,用比较判别法的极限形式,对于,由于.显然,当,则该反常积分收敛.当,存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论是什么正整数,总收敛.对于,取,不论是什么正整数,,所以收敛,故选(D).(5)【答案】(B).数学（二）试题第14页（共3页）Borntowin【解析】,,．(6)【答案】(D).【解析】.(7)【答案】(A)．【解析】由于向量组能由向量组线性表示,所以,即若向量组线性无关,
7、则,所以,即,选(A).(8)【答案】(D).【解析】：设为的特征值,由于,所以,即,这样数学（二）试题第14页（共3页）Borntowin的特征值只能为-1或0.由于为实对称矩阵,故可相似对角化,即,,因此,,即.二、填空题(9)【答案】.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为,因式分解得,解得特征根为,所以通解为 .(10)【答案】.【解析】因为,所以函数存在斜渐近线,又因为,所以斜渐近线方程为.(11)【答案】.【解析】由高阶导数公式可知,所以,即.(12)【答案】.【解析】因为,所以对数螺线的极坐标弧长公式为==.(13)【
