苏教版理2014届高三必备数学大一轮复习讲义18章配套课件课时检测导学案配套文档154份第2章 学案6.doc

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1、学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标:1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性,会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题.自主梳理1.函数奇偶性的定义设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有__________,则称f(x)为奇函数;如果对于任意的x∈A都有__________,则称f(x)为偶函数.2.奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=____;f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x)=f(

2、x

3、)⇔f(x)-f(-x)

4、=____.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称;f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于______对称.(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有______的单调性.3.函数的周期性(1)定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=______,则称f(x)为______函数,其中T称作f(x)的周期.若T存在一个最小的正数,则称它为f(x)的________.(2)性质:①f(x+T)=f(x)常常写作f(x+)=f(x-).②如果T

5、是函数y=f(x)的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是y=f(x)的周期,即f(x+kT)=f(x).③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=或f(x+a)=-(a是常数且a≠0),则f(x)是以______为一个周期的周期函数.自我检测1.已知函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值为________.2.如果定义域为[3-a,5]的函数f(x)为奇函数,那么实数a的值为________.3.(2009·江西改编)已知函数f(

6、x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2012)+f(2011)=________.4.设函数f(x)=为奇函数,则a=________.5.若函数y=f(x)是R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,且f(a)≤f(2),则实数a的取值范围为___________.探究点一 函数奇偶性的判定例1 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=(x+1);(2)f(x)=x(+);(3)f(x)=log2(x+);(4)f(x)=变

7、式迁移1 判断下列函数的奇偶性.(1)f(x)=x2-x3;(2)f(x)=+;(3)f(x)=.探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时是增函数,若f(1)=0,求不等式f[x(x-)]<0的解集.变式迁移2 已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为________.探究点三 函数性质的综合应用例3 (2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,

8、2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.变式迁移3 定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则下列说法中正确的是________(填序号).①在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数;②在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数;③在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数;④在区间[-2,-1]上是减函数,

9、在区间[3,4]上是减函数.转化与化归思想例 (14分)函数f(x)的定义域为D={x

10、x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.【答题模板】解 (1)∵对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1),∴f(1)=0.[2分](2)令x1=x2

11、=-1,有f(1)=f(-1)+f(-1),∴f(-1)=f(1)=0.[4分]令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.[6分](3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3,[8分]∵f(3x+1)+f(2x

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