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《【免积分】考研数三完整版(历年真题+答案详解)(2003-20.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.(1)(2)设函数在的某邻域内可导,且,,则(3)设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分(4)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则.(5)设随机变量相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则_______.(6)设总体的概率密度为为总体的简单随机样本,其样本方差为,则二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,
2、分别为在点处对应的增量与微分,若,则(A).(B).(C).(D).[](8)设函数在处连续,且,则(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在[]-19-(9)若级数收敛,则级数(A)收敛.(B)收敛.(C)收敛.(D)收敛.[](10)设非齐次线性微分方程有两个不同的解为任意常数,则该方程的通解是(A).(B).(C).(D)[](11)设均为可微函数,且,已知是在约束条件下的一个极值点,下列选项正确的是(A)若,则.(B)若,则.(C)若,则.(D)若,则.[](12)设均为维列向量,为矩阵,下列选项正确的是(A)若线性相关,则线性相关.(B)若线性相关
3、,则线性无关.(C)若线性无关,则线性相关.(D)若线性无关,则线性无关.[](13)设为3阶矩阵,将的第2行加到第1行得,再将的第1列的倍加到第2列得,记,则(A).(B).-19-(C).(D).[](14)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且则必有(A)(B)(C)(D)[]三、解答题:15-23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分7分)设,求(Ⅰ);(Ⅱ).(16)(本题满分7分)计算二重积分,其中是由直线所围成的平面区域.(17)(本题满分10分)证明:当时,.(18)(本题满分8分)在坐标平面上,连续曲
4、线过点,其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于(常数).(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)当与直线所围成平面图形的面积为时,确定的值.(19)(本题满分10分)求幂级数的收敛域及和函数.(20)(本题满分13分)设4维向量组,问为何值时线性相关?当线性相关时,求其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.-19-(21)(本题满分13分)设3阶实对称矩阵的各行元素之和均为3,向量是线性方程组的两个解.(Ⅰ)求的特征值与特征向量;(Ⅱ)求正交矩阵和对角矩阵,使得;(Ⅲ)求及,其中为3阶单位矩阵.(22)(本题满分13分)设随机变量的概率密度为,令为
5、二维随机变量的分布函数.(Ⅰ)求的概率密度;(Ⅱ);(Ⅲ).(23)(本题满分13分)设总体的概率密度为其中是未知参数,为来自总体的简单随机样本,记为样本值中小于1的个数.(Ⅰ)求的矩估计;(Ⅱ)求的最大似然估计-19-2006年考研数学(三)真题解析一、填空题:1-6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.(1)【分析】将其对数恒等化求解.【详解】,而数列有界,,所以.故.(2)设函数在的某邻域内可导,且,,则【分析】利用复合函数求导即可.【详解】由题设知,,两边对求导得,两边再对求导得,又,故.(3)设函数可微,且,则在点(1,2)处的全微分
6、【分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算.【详解】方法一:因为,,所以.-19-方法二:对微分得,故.(4)设矩阵,为2阶单位矩阵,矩阵满足,则2.【分析】将矩阵方程改写为的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】由题设,有于是有,而,所以.(5)设随机变量相互独立,且均服从区间上的均匀分布,则.【分析】利用的独立性及分布计算.【详解】由题设知,具有相同的概率密度.则.【评注】本题属几何概型,也可如下计算,如下图:-19-则.(6)设总体的概率密度为为总体的简单随机样本,其样本方差为,则【分析】利用样本方差的性质即可.【详解】因为,
7、,所以,又因是的无偏估计量,所以.二、选择题:7-14小题,每小题4分,共32分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.(7)设函数具有二阶导数,且,为自变量在点处的增量,分别为在点处对应的增量与微分,若,则(A).(B).(C).(D).[A]【分析】题设条件有明显的几何意义,用图示法求解.【详解】由知,函数单调增加,曲线凹向,作函数的图形如右图所示,显然当-19-时,,故应选(A).(8)设函数在处连续,且,则(A)存在(B)存在(C)存在(D)存在[C]【分析】从入手计算,利用导数的左右导数定义判定的存在性.
8、【详解】由知,.又因为在处连续,则.令,则.所以存在,故本题选(C
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