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1、提分专练04 切线的证明
2、类型1
3、 见切点,连半径,证垂直(1)利用等角代换判定1.[2019·镇江]如图T4-1,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B.(1)求证:直线AB与☉O相切;(2)若AB=5,☉O的半径为12,则tan∠BDO= . 图T4-12.[2019·黄石]如图T4-2,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,C,E是☉O上的两点,CE=CB,∠BCD=∠CAE,延长AE交BC的延长线于点F.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)求证:CE
4、=CF;(3)若BD=1,CD=2,求弦AC的长.图T4-2(2)利用平行线判定3.[2019·泰州]如图T4-3,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,D为AC的中点,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.(1)判断DE与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若☉O的半径为5,AB=8,求CE的长.图T4-34.[2019·赤峰]如图T4-4,AB为☉O的直径,C,D是半圆AB的三等分点,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.图T4-4(3)利用三角形全等或
5、相似判定5.[2019·郴州]如图T4-5,已知AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点D,且AD∥OC.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)延长CO交☉O于点E.若∠CEB=30°,☉O的半径为2,求BD的长.(结果保留π)图T4-5
6、类型2
7、 无切点,作垂直,证半径利用角平分线性质6.如图T4-6,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若点F是AO的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE
8、+PF取最小值时,直接写出BP的长.图T4-6【参考答案】1.解:(1)证明:连接OB,如图所示.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵∠ACB=∠OCD,∴∠ABC=∠OCD.∵OD⊥AO,∴∠COD=90°,∴∠D+∠OCD=90°.∵OB=OD,∴∠OBD=∠D,∴∠OBD+∠ABC=90°,即∠ABO=90°,∴AB⊥OB,∵点B在☉O上,∴直线AB与☉O相切.(2)∵∠ABO=90°,∴OA=AB2+OB2=52+122=13,∵AC=AB=5,∴OC=OA-AC=8,∴tan∠BDO=OCOD=812=23.故答案为:23.2.解
9、:(1)证明:连接OC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAD+∠ABC=90°,∵CE=CB,∴∠CAE=∠CAB,∵∠BCD=∠CAE,∴∠CAB=∠BCD,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OCB+∠BCD=90°,∴∠OCD=90°,∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.(2)证明:∵∠BAC=∠CAE,AC=AC,∠ACB=∠ACF=90°,∴△ABC≌△AFC(ASA),∴CB=CF,又∵CB=CE,∴CE=CF.(3)∵∠BCD=∠CAD,∠ADC=∠CDB,∴△ACD∽△CBD,∴CDBD=ADCD=ACB
10、C,∴21=AD2,∴AD=2,∴AB=AD-BD=2-1=1,设BC=a,则AC=2a,在Rt△ABC中,由勾股定理可得:a2+(2a)2=12,解得:a=33(负值已舍),∴AC=63.3.解:(1)DE与☉O相切,理由如下:连接OD,∵D为AC的中点,∴AD=CD,∴AD=DC,∵AO=OC,∴OD⊥AC,∴∠AOD=∠COD=90°,又∵DE∥AC,∴∠EDO=∠AOD=90°,∴OD⊥DE,∴DE与☉O相切.(2)∵DE∥AC,∴∠EDC=∠ACD,∵∠ACD=∠ABD,∴∠EDC=∠ABD,又∵∠DCE=∠BAD,∴△DCE∽△B
11、AD,∴CEAD=DCAB,∵半径为5,∴AC=10,∵D为AC的中点,∴AD=CD=52,∴CE=AD·DCAB=52·528=254.4.解:(1)证明:连接OC,∵点C,D为半圆O的三等分点,∴AD=CD=BC,∴∠BOC=∠EAB,∴OC∥AD.∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∴CE为☉O的切线.(2)连接OD,∵AD=CD=BC,∴∠COD=13×180°=60°.∵CD∥AB,∴S△ACD=S△COD,∴图中阴影部分的面积=S扇形COD=60π×22360=2π3.5.解:(1)证明:连接OD,如图所示.∵AD∥OC,∴∠COD=∠A
12、DO,∠COB=∠DAO,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,∴∠COD=∠COB.在△COD和△COB中,OD=OB,∠COD=∠COB,OC=OC,∴△COD≌
