随机过程(超容易理解+配套例题).ppt

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1、随机过程简介1、实际背景：在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.Ex.1对某城市的气温进行n年的连续观察,记录得：研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?Ex.2从杂乱电讯号的一段观察{Y(t),0

2、过程的定义设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素(i=1,2,…)都以某种法则确定一个样本函数x(t,),由全部元素{e}所确定的一族样本函数x(t，e)称为随机过程，记为x(t)。设有一个过程x(t)，若对每一个固定的时刻(j=1,2…)，X()是一个随机变量，则x(t)称为随机过程。随机过程x(t,e)四种不同情况下的意义：.当t固定，e固定时，x(t)是一个确定值；.当t固定，e可变时，x(t)是一个随机变量；.当t可变，e固定时，x(t)是一个确定的时间函数；.当t可变，e可变时，x(t)是

3、一个随机过程；平稳过程1）严平稳过程：若有相同的联合分布，也就是说主要性质只与变量之间的时间间隔有关。2）宽平稳过程：如果随机过程{x(t),}所有二阶矩都存在，并且E[x(t)]=,协方差函数只与时间差t-s有关，那么称{x(t),}为宽平稳过程。研究随机过程的一个重要切入点就是研究一个随机信号的数字特征，数字特征主要包括数学期望、相关函数、方差、协方差、均方值。其中数学期望是一阶矩，后面四个是二阶矩。可以通过研究随机过程的二阶矩特征来判断随机过程是否平稳等等。Poisson过程1、计数过程：随机过程称为计数

4、过程，如果表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：（1）且取值为整数；（2）时，2、Poisson过程计数过程称为参数为的Poisson过程，如果（1）N(0)=0;(2)过程有独立增量；(3)对任意的称为Poisson过程的强度或者速率，也就是说单位事件内事件发生的次数。例：顾客到达某商店服从=4的Poisson分布已知商店上午9：00开门，试求到9：30时仅到一位顾客，而到11：30时总计已达5位顾客的概率。设表示在时间t时到达的顾客数解：Poisson过程的推广当Poisson过程的

5、强度不再是常数，而与时间t有关时，Poisson过程被推广为非齐次Poisson过程。一般来说，非齐次Poisson过程不具有平稳增量。非齐次Poisson过程计数过程称做强度函数为的非齐次Poisson过程，如果（1）N(0)=0；（2）过程有独立增量；（3）对任意实数为具有参数的Poisson分布。令例设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年需要维修一次，求它在使用期内只维修过一次的概率。解考虑非齐次泊松过程，强度函数复合Poisson过程条件Poisson过程设{Y

6、i,i≥1}是一族独立同分布的随机变量，{N(t),t≥0}是泊松过程，且{Yi,i≥1}与{N(t),t≥0}独立，记称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。1、定义：设是一个正的随机变量，分布函数为G(x)，设N(t)是一个计数过程，在的条件下，{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程，即对任意的s,t≥0，有则称{N(t),t≥0}为条件泊松过程。更新过程1、更新过程的定义设{Xn,n≥1}是独立同分布的非负随机变量，分布函数为F(x)，且F(0)<1，令记或称{N(t),t≥0}更新过程。一个典型的更新过程

7、的例子就是机器零件的更换。在0时刻，安装上一个新零件并开始运行，当零件在X1时刻发生损坏，马上用一个新的来替换（假设替换零件不需要时间），当第二个零件从X1时间开始运行，到X2时间发生损坏时，我们马上换第三个零件….这些零件的使用寿命是独立同分布的，那么到t时刻为止已经更换的零件数目就构成一个更新过程。注：在有限的时间内不可能有无限多次更新发生。因为由大数定律知，依概率1有从而，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生，即有限的时间内最多只能发生有限次更新。2、更新方程：如下形式的积分方程称为更新方程其中H(t)

8、，F(t)为已知，且当t<0时，H(t)，F(t)均为0，当H(t)在任何区间上有界时称此方程为适定更新方程，简称更新方程。设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为M(t)3、更新方程的解设更新方程中H(t)为有界函数，则方程存在惟一的在有限区间内有界的解4、更新方程在人口学中的一个应用考虑一个确定性的人口模型------在时刻t女婴的出生速率，即在[t,t+dt]之间有B(t)