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1、常数项级数审敛方法的探讨摘要：无穷级数中最基本也最重要的级数就是帘数项级数，因而常数项级数的审敛方法在数学研究中起着重要的作用。本文重点讨论常数项级数的敛散性的判别方法，将其分为正项级数、任意项级数和交鉛级数分别进行审敛方法的研究：正项级数敛散性的判别方法是研究的主要内容；任意项级数则是在止项级数审敛方法的基础上进行研究的；而交错级数属于特殊的常数项级数，从满足莱布尼茨条件和不满足其条件讨论了它的审敛方法。从血对常数项级数审敛的思想方法作了一些有价值的归纳总结。关键词：常数项级数；收敛；发散；’市敛法无穷级数
2、是高等数学的重要内容，是研究函数性质和进行数值计算的有利工具，它在解决自然科学、工程技术等各种实际问题中有着十分广泛的应用，大力拓展了利用微积分解决各种实际问题的范围.本文对常数项级数的审敛方法进行了较全面的分析和研究，并对其具体的应用也进行了比较深入的讨论，进而总结岀具有一般性的思想方法，归纳了一些较有价值而且新颖的解决实际问题的方法.1.常数项级数1.1常数项级数的概念设有-」个数列绚上2上3，则称"1+比2+“3+…+知+…为常数项级数'8以下简称级数，记为工匕二旳+••・+知+…，具中，冷为级数的一般
3、项/i=l00“或通项；并且称常数项级数£知的前〃项之和»=、＞严绚+比2+坷+・・・+%为n=lk=该级数的前农项部分和,简称部分和，从而得到数列$严知$2=终+“2,…,»=旳+冷数列低｝称为常数项级数的部分和数列，则有：若级数8S工知部分和数列也｝有极限S,即皿片二S,则称级数£知收敛，并称S为级数"=1n=l888工©的和，记作二S,这时，也称工知收敛丁•S.若数列｛$“｝没有极限，即h=1n=ln=loclirn不存在，则称级数£冷发散.n=l8由以上可知，级数是否收敛等价于其部分和数列｛$“｝是
4、否有极限，即n=l8可把级数工知作为数列｛»｝的另一利I表现形式.n=l例1•讨论级数£〃的敛散性.n=l解:级数匕部分和为片=1+2+3+・・・+“空凹”=128因为lims“=oo,所以级数工〃发散."TOOn=i基丁•以上所说的级数与数列间的关系，我们可以根据数列极限引出以下定理：8定理1・（级数收敛的柯西准则）级数工收敛的充要条件是：任给正数£,n=总存在正整数N,使得当m>N以及对任意的正整数P,都有%+i+%+2+・・・+"„”<£・8根据此定理我们易写出级数£©发散的充要条件：存在某正数勺，对
5、任何n=正整数N,总存在正整数“）（〉N）和人，有%〕+%+2+…+%+心»吕）并由此定理1可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件.8推论若级数£知收敛,则limuw=O.A—>QCn=l例2•讨论调和级数1+丄+丄+・..+丄+…的敛散性.23n解：调和级数虽满足推论的结论，即=lim-=On->oo但令p=m时有1111…m+1m+22mn—I…—=—2in2m2m2因此取6=丄，对任何正整数N,只耍加〉N和P=加就满足级数£冷发散的充2n=l耍条件，所以调和级数是发散的.级数敛散性的判别是无穷级数理
6、论中的一个重耍内容•通常，从定义岀发來判定一个级数的敛散性是比较困难的，而级数收敛的柯西准则也具有一定的局限性，为此我们必须寻找其它审敛法，那么我们就应该针对各类级数的特点给出判别级数敛散的一般方法•首先我们需耍给岀级数的一些基本性质，为其后级数审敛法的探讨作铺垫.1.2常数项级数的基本性质：8888性质1若级数收敛于s,则级数工加“收敛，且工加“=2工冷二;is,其”=1W=1”=1”=1中2为任意常数.性质2若级数收敛于S,收敛”，则级数$>〃±叫）收敛，且h=In=l/i=l8W=188性质3若级数£匕
7、收敛，贝ij级数”也收敛，反z亦然，其中加是任一正n=l/r=w+l整数.性质4若级数丫“”收敛，则对此级数的项任意地加括号后所成级数/
8、=
9、(U]+U2+...+%)+(知+]+%+2+•••+"“,)+(%+]+•••+%)+…仍然收敛且和不变.性质5在级数工知中去掉，加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性（级n=l数收敛时，一般会改变级数的和）・S0000推论1如呆级数£冷收敛，级数发散，则级数£（竝士叫）发散.n=ln=lr?=l推论2如果在级数〃中插入括号后新级数发散，则原级数必发散.n=l1.正项
10、级数2.1正项级数的概念定义：如果级数的各项全为非负实数，即知nos=i,2,…），则称级数乞匕7?=1为正项级数•显然正项级数的部分和数列匕｝是单调递增的，即昭》片，若数列CC｛%｝有界，则根据单调有界数列必有极限可知linq存在，由定义可知工冷收敛.S定理1.正项级数£叫收敛的充要条件是其部分和数列“”｝有界.n=l2.2正项级数的审敛法由以上定理，我们可以推岀判断正项级数是否收敛的一些重耍判别
