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1、第8模块第7节［知能演练］一、选择题己知M(—2,0)、N(2,0),PM-PN=3,则动点P的轨迹是双曲线D.一条射线B.双曲线左边一支双曲线右边支解析：TIPMI-IPNI=3v4,由双曲线定义知，其轨迹为双曲线的一支，又・•・动点P的轨迹为双曲线的右殳.答案：C2.□.知双曲线的两个焦点为FK-VI0,0)、F2(Vk),0),M是此双曲线上的一点，且满足a7F
2、-/W-2=O,IMFiI-Ia7f2I=2,则该双曲线的方程是解析：由MFvMF2=0,可知MF1丄MF2.可设1^1=Z
3、,IMF2l
4、=/2,txt2=2.在厶MFiF2中,斤+《=40,I/]一如=寸彳+分-2如2=#40_4=6=2^.••a=3.二所求双曲线方程为-y2=1.答案：A223.己知双曲线匚一匚=1(加〃工0)的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线y2=4x的焦点,nin-则此双曲线的渐近线方程是A，V3x±y=0C.3x±y=0B.x±V3y=0D-x±3y=0解析:抛物线/=4x的焦点为（1,0）./•m+n=1・又双曲线的离心率为2,.•・+==2.y/m・135=4'n=4-・••双曲线的方程为4x2-^~=1.・•・其
5、渐近线方程为需x土y=0.故选A.答案：A2?2.双曲线卡一京=1（°>0,方>0）的两个焦点为戸、F2,若P为其上一点，且IPF
6、l=2l“2l，则双曲线的离心率的取值范围为A.(1,3)B.(1,3]C.⑶+8)D.[3,+8)解析：如右图，设PF2=m,当P在右顶点处，0=71,2c~2ap+（加F-4亦cos0m=5-4cos&・•・•一lvcos&Wl,・・・€三（1,3].答案：B二、填空题223.己知双曲线亠一—=1的离心率为则"=n12—M解析：t72=»,/;2=12-7z,c2a2+b2
7、=12，离心率e=-=所以n=4.a心答案：42.□.知圆C：x2+y2-6x-4y+8=0,以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则符合上述条件的双曲线的标准方程为.解析：圆C:x2+y2-6x-4y+8=0,由方程知与y轴没有交点，再令y=0=>x2-6x+8=0,得圆C与x轴的交点分别为(2,0),(4,0),则a=2,22c=4,lr=12,所以双曲线的标准方程为1.2答案：f-2「12一1三、解答题3.根据下列条件，求双曲线的标准方程.⑴经过点(学3),口一条渐近线方程为4x+3y=0.(
8、2)P(0,6)与两个焦点的连线互相垂克，与两个顶点连线的夹角为彳.解：(1)因直线X=〒与渐近线4x+3y=0的交点坐标为(才，-5),而3vl-51,故双曲线的焦点在x轴上，22设其方程为^2-^2=1,[a2=9,解得丄6.X2y2故所求的双曲线方程为石-1.yio(2)设凡、尸2为双曲线的两个焦点，依题意，它的焦点在尤轴上,・・・PFi丄阳，且OP=6,A2c=1^^21=210^1=12,Ac=6.又P与两顶点连线夹角为彳,/.a=lOPMan彳=2/5,/.b2=c2~a2-24.22故所求的双
9、曲线方程为令■-1.2.已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，Fi、F2分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P,"PF2=¥，且△PF】*的面积为2需，又双曲线的离心率为2,求该双曲线的方程.解：设双曲线的方程为22=1(°>0‘/?>0),F1(-c,0),F2(c,0)>在△PF1F2中，由余弦定理，得iFiF2r=pf^+iPF2r-兀2IPFil-IPF2lcos^=(IPF1
10、-IPF2I)2+IPF1
11、.
12、PF2I,即4c-2=4/+IPF4IPF2I.又TS厶PFR=2品A
13、lPFiMPF
14、2lsin^=2V3,・•・IPF)
15、.
16、PF2I=8,4c2=4用+8,即=2.［高考•模拟•预测］1.双曲线予一台=1的俵点到渐近线的距离为A.2a/3B.2C.V3D.122_解析：双曲线，一台=1的焦点为(4,0)、(-4,0).渐近线方程为y=由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等.d=虫哲=2=2^3.p3+1答案：A2,21.己知双曲线专一”=1(方＞0)的左、右焦点分别为F1、尸2，具一条渐近线方程为y=x，点P(衍,为)在该双曲线上，则序1•两=()A.-12B.-2C.0D.42
17、2解析：由渐近线方程y=x得b=[2＞点为)代入专_^2=1中得))=±1.不妨设P(、/5,1),・・・尺(2,0),*2,0),・•・孑]•喷=(2-需，-1)・(-2-屈-1)=3-4+1=0.答案：Cx2v22.已知F是双曲线亍一苛T的左焦点，4(1,4),P是双曲线右支上的动点，则IPFI+IMI的最小值为.解析：设右焦点为"，依题意，IPFI=IPFJ+4
