2012年考研数学三真题及答案.doc

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1、2012年考研数学三真题一、选择题（1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）(1)曲线y=x2+xx2-1渐近线的条数为(A)0(B)1(C)2(D)3【答案】C。【解析】由limx→+∞y=limx→+∞x2+xx2-1=1=limx→-∞y=limx→-∞x2+xx2-1,得y=1是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；由limx→1y=limx→1x2+xx2-1=∞得x=1是曲线的一条垂直渐近线；由limx→-1y=limx→-1x2+x

2、x2-1=12得x=-1不是曲线的渐近线；综上所述，本题正确答案是C【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐近线(2)设函数fx=(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n),其中n为正整数，则f'0=(A)-1n-1n-1!(B)-1nn-1!(C)-1n-1n!(D)-1nn!【答案】A【解析】【方法1】令gx=(e2x-2)⋯(enx-n),则fx=(ex-1)gxf'(x)=exgx+(ex-1)g'xf'0=g0=-1-2⋯(-(n-1))=-1n-1n-1!故应选A.【方

3、法2】由于f0=0,由导数定义知f'0=limx→0f(x)x=limx→0(ex-1)(e2x-2)⋯(enx-n)x=limx→0(ex-1)x∙limx→0(e2x-2)⋯(enx-n)=-1-2⋯-n-1=-1n-1n-1!.【方法3】排除法，令n=2,则fx=(ex-1)(e2x-2)f'x=exe2x-2+2e2x(ex-1)f'0=1-2=-1则(B)(C)(D)均不正确综上所述，本题正确答案是(A)【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(1)设函数f(t)连续，则二次积分

4、0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr=(A)02dx2x-x24-x2x2+y2f(x2+y2)dy(B)02dx2x-x24-x2f(x2+y2)dy(C)02dy1+1-y24-y2x2+y2f(x2+y2)dx(D)02dy1+1-y24-y2f(x2+y2)dx【答案】B。【解析】令x=rcosθ,y=rsinθ,则r=2所对应的直角坐标方程为x2+y2=4,r=2cosθ所对应的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1。由0π2dθ2cosθ2f(r2)rdr的积分区域2cosθ

5、<θ<π2得在直角坐标下的表示为2x-x2

6、时(-1)nnsin1nα~1nα-12，故α-12>1,即α>32由级数n=1∞(-1)nn2-α条件收敛，知α<2综上所述，本题正确答案是(D)【考点】高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定(1)设α1=00c1,α2=01c2,α3=1-1c3,α4=-11c4,其中c1,c2,c3,c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为(A)α1,α2,α3(B)α1,α2,α4(C)α1,α3,α4(D)α2,α3,α4【答案】C。【解析】n个n维向量相关⇔α1,α2,⋯αn=0显然α1,α3,α4=

7、01-10-11c1c3c4=0所以α1,α3,α4必线性相关综上所述，本题正确答案是(C)。【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关(2)设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且P-1AP=100010002.若P=α1,α2,α3,Q=(α1+α2,α2,α3),则Q-1AQ=(A)100020001(B)100010002(C)200010002(D)200020001【答案】B。【解析】由于P经列变换(把第2列加至第1列)为Q，有Q=P100110001=PE21(1)那么Q-1AQ=

8、[PE21(1)]-1APE21(1)=E21(1)-1P-1APE21(1)=100-110001100010002100110001=100010002综上所述，本题正确答案是(B)。【考点】线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换(1)设随机变量X,Y相互独立，且都服从区间(0,1)上的均匀分布，则PX+Y2≤1=(A)14(B)12(C)π8(D)π4【答案】D。【解析】PX2+Y2≤1=x2+y2≤1f(x,y)dxdy而fx,y=fXxfYy=1,0