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《高考数学复习第5章平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案文北师大版.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三节 平面向量的数量积与平面向量应用举例[最新考纲] 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.(对应学生用书第88页)1.两个向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB叫作向量a与b的夹角.(2)范围:0°≤∠AOB≤18
2、0°.(3)向量垂直:∠AOB=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.规定:零向量可与任一向量垂直.2.平面向量的数量积(1)射影的定义设θ是a与b的夹角,则
3、b
4、cosθ叫作向量b在a方向上的射影,
5、a
6、cosθ叫作向量a在b方向上的射影.(2)平面向量数量积的定义已知两个向量a和b,它们的夹角为θ,把
7、a
8、
9、b
10、cosθ叫作a与b的数量积(或内积),记作a·b.(3)数量积的几何意义a与b的数量积等于a的长度
11、a
12、与b在a方向上的射影
13、b
14、·cosθ的乘积,或b的长度
15、b
16、与a在b方向上射影
17、a
18、cosθ的乘积.3.平
19、面向量数量积的运算律(1)交换律:a·b=b·a;(2)数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.4.平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉.结论几何表示坐标表示模
20、a
21、=
22、a
23、=数量积a·b=
24、a
25、
26、b
27、cosθa·b=x1x2+y1y2夹角cosθ=cosθ=a⊥ba·b=0x1x2+y1y2=0
28、a·b
29、与
30、a
31、
32、b
33、的关系
34、a·b
35、≤
36、a
37、
38、b
39、
40、x1x2+y1y2
41、≤·1.平面向量数量积运算的常
42、用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.两个向量a,b的夹角为锐角⇔a·b>0且a,b不共线;两个向量a,b的夹角为钝角⇔a·b<0且a,b不共线.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个向量的数量积是一个实数,向量的数乘运算的运算结果是向量.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.( )(3)由a·b=0可得a=0或b=0.( )(4)(a·b)c=a(b·c).( )[答案](1)√ (2)√ (3)× (4)×二、教
43、材改编1.已知a·b=-12,
44、a
45、=4,a和b的夹角为135°,则
46、b
47、为( )A.12 B.6 C.3 D.3B [a·b=
48、a
49、
50、b
51、cos135°=-12,所以
52、b
53、==6.]2.已知
54、a
55、=5,
56、b
57、=4,a与b的夹角θ=120°,则向量b在向量a方向上的投影为________.-2 [由数量积的定义知,b在a方向上的投影为
58、b
59、cosθ=4×cos120°=-2.]3.已知
60、a
61、=2,
62、b
63、=6,a·b=-6,则a与b的夹角θ=________. [cosθ===-.又因为0≤θ≤π,所
64、以θ=.]4.已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=________.8 [∵a=(1,m),b=(3,-2),∴a+b=(4,m-2),由(a+b)⊥b可得(a+b)·b=12-2m+4=16-2m=0,即m=8.](对应学生用书第89页)⊙考点1 平面向量数量积的运算 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=
65、a
66、
67、b
68、cos〈a,b〉.(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2
69、+y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解.(1)(2019·全国卷Ⅱ)已知=(2,3),=(3,t),
70、
71、=1,则·=( )A.-3 B.-2 C.2 D.3(2)[一题多解](2019·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=________.(1)C (2)-1 [(1)∵=-=(1,t-3),∴
72、
73、==1,∴t=3,∴·=(2,3)·(1,0)=2.(2)法一:∵∠BAD=30°,AD∥BC,∴∠ABE=30°,又E
74、A=EB,∴∠EAB=30°,在△EAB中,AB=2,∴EA=EB=2.以A为坐标原点,直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,),∴=(2,-),=(1,),∴·=(2,-)·(1,)=-1.法二:同法一,求出EB=EA=2,以,为一组基底,则=-,=+=-,∴·=(-)·=