抓住不变量优化解题过程.pdf

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1、34中学数学教学2014年第4期抓住不变量优化解题过程安徽省合肥市第一中学诸敏(邮编：230601)很多数学问题中，虽然数量、图形在发生变分析无论哪一种爬行方式，纵的爬行3，横化，但其中往往隐含着某些不变量(性)．如果能的爬行8，这是两个不变量，一共是11个位置，只在变化过程中善于发现并挖掘利用这些因素，就需确定横的爬行位置，剩下的自然是纵的爬行位常能使解题达到一种意想不到的境界．置，所以爬行方式的总数是C}．1运用不变量。简化运算过程一22例4已知点F、F。为椭圆+一1的例1直线z经过椭圆1二厶尼≥+厶J上U左右焦点，若点M为椭圆上一点，且AMFFz的一1(忌≠0

2、)的右焦点，并且与z轴垂直．若被内切圆的周长等于3rr，则满足条件的点M有个．椭圆截得的线段长为8，则是一——．——分析解决本题的一种有效方法就是利用分析若就原方程求出焦点坐标后，再算出面积不变量，即5△e2一S△．“算两次”的z与椭圆焦点的纵坐标，则有较大的运算量．题中一2．2方法其实就是利用不变量的原理．的椭圆可由椭圆惫+一1平移而得，在平移厶解由已知得，a===5，b一4，c一3．过程中相关线段的长度不变．这样，由后者的通AMFFz的周长一1FFl+IMFl+0L2}MF2f一2a+2c一16．径长为8，即一8，解得k一±4／2．42IkI设AMFF边FF2上

3、的高为h，内切圆半例2已知AC、BD为圆0：z。+Y一4的径为r，则2a'r一37r，即r一．厶两条垂直的弦，垂足为M(1，,／g)，则四边形AB—1S△一-L·lF1F2l·h一3h，又5△F2—CD的面积的最大值为——．分析本题若用常规的做法，思路虽自然，1寺×16×r一12，由s△—sa,~-，得h=4．但计算繁杂，不宜小题大做．若利用几何特征，运用不变量(+d；一3)，便能化繁为简，得到如又b一4，所以，只有短轴的两个端点符合下解法．条件．例5当D't取不同的实数时，方程4+5一解设点0到直线AC、BD的距离分别为8rn：r一20my+24m2—20—0表示

4、不同的椭圆，试求d1、d2(d1、d2≥0)，由AC、BD互相垂直知d}+【d；一Il一3，则IAC1===2~／4～d{，一直线使其被这些椭圆截得的弦长都等于．L】lBDI一2~／4一d；，于是四边形ABCD的面积s分析用常规方法解答本题，计算非常复一一2厮．厢≤(4一杂．我们应进一步探索隐含于其中的不变量(性)，为此，将方程化为+di)+(4一d；)一8—3—5，故四边形面积的最J大值为5．===1．从方程可看出，隐含于这一问题中的一系2挖掘不变量。打开解题的突破口列不变量(性)：无论m怎样取值，这些椭圆的长、例3下图是一个3×8的纵横线路图，一短轴始终平行于坐

5、标轴，且长度分别为2／5和4；只小虫沿纵横线向上或向右从A点爬到B点，中心(m，2m)保持在直线===2z上．至此，容易看则不出所求直线必须与椭圆中心所在直线一2平行，对于这样的直线，如果在其中某一个椭圆上[／-if-截得的弦长是，则在其他椭圆上截得的弦长2014年第4期中学数学教学352qx。+q)一10x。+34(*)．出现了多个字母的也都是．于是可设所求直线为=：=2x+m，并')运算，学生会产生困惑．此时，关键是要引导学生，'发现谁是不变量(M和q)，谁是变量(z5)，从而与椭圆荨+===1相截，从截得的弦长是的J‘士。将(*)重新整理成(2qM。+10)x

6、。+34一(9+条件下，即可求得m一±2．q。)一0，它是对V。∈[一3，3]都成立，则有例6已知直线、及平面a，其中∥，f2qM+10===0，那么在平面Of内到两条直线m、距离相等的点l34一(a。+9)一0．的集合可能是：①一条直线，②一个平面，③一个解得q一一詈，M—5．点，④空集．其中正确的序号是——．分析因为m∥，所以m、确定一个平4构造不变量，另辟解题新径面，记为，在平面内作m、n的平行线z，使z例9在AABC中，求证：sinA+sinB+到m、的距离相等，过z作平面)，上，则到直线sinC．厶、n的距离相等的点的集合为平面)，，这是一个形的不变量．抓

7、住这个不变量，只需考察)，和y分析A、B、C是变化的，注意到等的所有可能的位置关系情况，就可得出正确的序号成立当且仅当A—B—C一-兀5-，可尝试构造一号是①、②、④．J3寻求不变量，明确探索方向个不变量sin要．原问题转化为证明sinA+sinB例7设集合A：{(z，)lxco~+ysin0=1)，全集U一{(z，)Iz，yER)，求集合A的补集对应+sinC~sin号≤．而sinA~sinB~s1‘nc+的图形是什么?分析解决问题的关键是发现不变量COS。0咖rr，nA丁+B啷AT-B．+sin20一1．解法1由原点O到直线1：xcos0~ysin0一COS