透过背景，衍生结论，巧破难关.pdf

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1、2014年第4期河北理科教学研究问题讨论透过背景，衍生结论，巧破难关辽宁省抚顺市第一中学洪恩锋113001在各省市的高考压轴题中，常将导数作≥1一-1-(>O)(1·4)·由(1·2)，(1·4)我们为主要的考察对象，而导数中多涉及到以lnx，e为影子的一些恒成立证明求解问题，有1一1≤lnx≤一l(>0)(1．5)．这恰是导数考题中的热点难点，本文介绍以由等式1，常见放缩In(1+)和e的泰勒展开式为背景的一些放缩不等式，巧妙的运用好这些不等式可以f—1≤ln(1+)≤有效的降低题目的难度，起到事半功倍的【—1≤ln(1+)≤一吉2+{3奇效1(≥0)(1．6)．1泰

2、勒展开式背景由等式2，常见放缩e≥1+(1．7)证等式1：ln(1+)=一2+{3一明作差求导(略)．{4+．．·+(一1)州·《f【e≥1++‘≥。。．8证明等式2：e=1++++⋯+e≤1++-3-(≤o)J-⋯作差求导(略)．我们将等式1，等式2分别叫做关于In(1由(1．1)，(1．7)我f『丁有In(1+)≤≤+)和e的泰勒展开式．e一1(>一1)(1．9)．2衍生放缩不等式3巧破难关演绎在等式1中，右边我们只取一项，得到例1(2010湖北理21题)(Ⅱ)若ax+ln(1+)≤(>一1)(1．1)证明作差求导一2a+1≥lnx在[1，+∞)恒成立，求(略)．在

3、(1．1)中我们令=一1，可以得到Inx≤一1(>0)(1．2)，将(1．2)力Ⅱ强有，a的最小值．解析：由(1．3)可知当≥1时，Inx≤f(一)o，且≠时，+>+只需≤．·．≥1

4、，的孝，求．j}的取值范围?最小值．解析：经变形k一1(一)，g()：ln·()<一1，当>1时，ln<(一{fe≥1++等(≥0)戈一l二可知，当≥0【e≤1++(≤0))，g()=ln·(高)<一l，故k一1≤一1，即k≤0．时，一≤0，e一≤1一+鲁，厂()=e例3(2012天津理20题)已知厂()=一e一≥2x，．·．2x≥。，．·．n≤2．—In(+口)最小值为0，其中口>0．(I)求口；(Ⅱ)对任意∈[0，+。。)，

5、数f()=e一1一一口．若当≥0时，有厂()≤kx成立，求实数k的最小值．．f()≥0，求0的取值范围．解析：(I)由(1．1)可知，In(1+)≤解析：当≥0时，(戈)≥0，有e≥1，所以—in(1+)≥0，当=0时，不等式取得最小值0，此时口=1．(Ⅱ)命题等价化为，对任意∈[0，fl≥1++专2≥。可⋯知，l++；+a。)，有In(1十)≥一kx成立，由(1．6)【e≤1++(≤0)。可知，当≥0时，一告。≤In(1+)≤≥1+戈+0．·．0≤告故一1≥k．k≥1一，，k的最小值去．数f()=e一In(+，n)．当m≤2时，证明：，()>0．例4(2013全国大纲

6、卷理22题)已知解析：由(1．7)知，e≥1+，由(1．2)函数()=ln(+1)一等．若≥知，In(+m)≤+m一1，故e≥1+0时，f()≤0，求的最小值．≥+m一1≥In(+m)，但取等条件不解析：由(1．3)当≥0时，+1≥1，同．f()>0．2014年第4期河北理科教学研究问题讨论例8(2014大连双基卷21题)已知函等数学为背景的试题已成为高考中的一道风景，这类题目形式新颖，既能开阔数学视野，数厂()：，∈(一1，0)u(0，又有利于完成高等数学和初等数学的衔接，+∞)．若对任意的>0，都有()

7、最小值．识地透过高等数学知识背景，将一些常见的，规律性的，有价值的高等知识初等化，可以更解析：当>0时，由

8、i}3参考文献I~t(1．6)可知一2+{≤一丢戈21邵继享．关于lnx的两个不等式在解高考压轴题中的应用[J]．中学数学研究，2013(12)1+

9、l}。．≥，实数的最小值{．2黄加流．利用lnx的不等式解题[J]．中学数学教学参考，2013(04)4教学启示随着新课程标准的实施。高考卷中以高．；·}·}_{·}．{·}_{·}_{·}-{·}_{·}{·}_{·}