专题探究课5 平面解析几何中的高考热点问题.doc

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1、(五)　平面解析几何中的高考热点问题(对应学生用书第151页)[命题解读]　圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必考一道解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主．这些试题的命制有一个共同的特点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂的运算，对运算能力，分析问题解决问题的能力要求较高，难度较大，常以压轴题的形式出现．圆锥曲线的标准方程与性质圆锥曲线的标准方程在高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常用的方法是定义法与待定

2、系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．　(2017·石家庄质检)如图1，椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.【导学号：97190315】图1(1)若

3、PF1

4、＝2＋，

5、PF2

6、＝2－，求椭圆的标准方程；(2)若

7、PF1

8、＝

9、PQ

10、，求椭圆的离心率e.[解]　(1)由椭圆的定义，2a＝

11、PF1

12、＋

13、PF2

14、＝(2＋)＋(2－)＝4，故a＝2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，12因此2c＝

15、

16、F1F2

17、＝＝＝2.即c＝，从而b＝＝1，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)连接F1Q，如图，由椭圆的定义知

18、PF1

19、＋

20、PF2

21、＝2a，

22、QF1

23、＋

24、QF2

25、＝2a，又

26、PF1

27、＝

28、PQ

29、＝

30、PF2

31、＋

32、QF2

33、＝(2a－

34、PF1

35、)＋(2a－

36、QF1

37、)，可得

38、QF1

39、＝4a－2

40、PF1

41、.①又因为PF1⊥PQ且

42、PF1

43、＝

44、PQ

45、，所以

46、QF1

47、＝

48、PF1

49、.②由①②可得

50、PF1

51、＝(4－2)a，从而

52、PF2

53、＝2a－

54、PF1

55、＝(2－2)a.由PF1⊥PF2知

56、PF1

57、2＋

58、PF2

59、2＝

60、F1F2

61、2，即(4－2)2a2＋(2－2)

62、2a2＝4c2，可得(9－6)a2＝c2，即＝9－6，因此e＝＝＝－.[规律方法]　1.用定义法求圆锥曲线的方程是常用的方法，同时应注意数形结合思想的应用.2.圆锥曲线的离心率刻画曲线的扁平程度，只要明确a，b，c中任意两量的等量关系都可求出离心率，但一定注意不同曲线离心率取值范围的限制.[跟踪训练]　(2017·河南3月适应性测试)设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB12的中点到x轴的距离是3.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点

63、．连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．[解]　(1)设抛物线的方程是x2＝2py(p＞0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义可知y1＋y2＋p＝8，又AB的中点到x轴的距离为3，∴y1＋y2＝6，∴p＝2，∴抛物线的标准方程是x2＝4y.(2)由题意知，直线m的斜率存在，设直线m：y＝kx＋6(k≠0)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由消去y得x2－4kx－24＝0，∴(*)易知抛物线在点P处的切线方程为y－＝(x－x3)，令y＝－1，得x＝，∴R，又Q，F，R三点共线，∴kQF＝

64、kFR，又F(0,1)，∴＝，即(x－4)(x－4)＋16x3x4＝0，整理得(x3x4)2－4[(x3＋x4)2－2x3x4]＋16＋16x3x4＝0，将(*)式代入上式得k2＝，∴k＝±，∴直线m的方程为y＝±x＋6.圆锥曲线中的定点、定值问题(答题模板)12定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题．　(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅰ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，①中.②(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且

65、与C相交于A，B两点.，③证明：l过定点．[审题指导]题眼挖掘关键信息①②根据椭圆的对称性，以及所给四点中P3、P4关于y轴对称，可知P3、P4在椭圆上，进而判断P2在椭圆上，求出其方程．③欲证直线l过定点，只需求出l的方程，分析l与x轴的位置关系，结合直线P2A与直线P2B斜率的和为－1，联立l与椭圆的方程求解，并注意“设而不求，整体代入”方法的运用.[规范解答]　(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．又由＋＞＋知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上.2分因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.4分(2)证

66、明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且

67、t

68、＜2，可得A，B的坐标分别为