非线性电极化率的量子力学描述——量子力学基本概念和结论2.doc

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1、§1-3非线性光学极化率的量子力学描述§1-3-1量子力学的一些基本概念一、基本概念1、归一化波函数描述一个动力学体系的态，是系统位置和自旋坐标的函数。(1.3.1-1)式中的积分是对系统所有坐标的积分，并对自旋求和。2、薛定谔方程（1.3.1-2）描述系统的状态随时间的变化规律，也是波函数的运动方程。为系统能量的哈密顿算符。量子力学中的算符代表对波函数（量子态）的一种运算。例如等，分别表示对波函数的一阶导数，二阶导数等。如位置算符:(1.3.1-3)动量算符:(1.3.1-4)系统哈密顿算符：(1.3.1-5)3、

2、力学量的期望值系统的每一个动力学变量如坐标、动量和能量等，在量子力学中有一个线性算符对应，可用一般算符表示。当系统处于态时，对系统进行重复测量力学量的平均值，也就是系统处于态中的期望值为(1.3.1-6)4、态的表象表象：在量子力学中对态和力学量的具体表达式。一个表象就是一组完全、正交的波函数。正交：(1.3.1-7)6任意波函数都可用展开完全：(1.3.1-8)表象的选择是任意的，合适的表象使讨论问题大大简化。(1.3.1-8)的意义是：是在坐标表象中的波函数，是某特定表象中的本征函数。在坐标表象中描述的态，在另一

3、特定表象中用一组数来描述。在莲子力学中，将称作在这个特定表象中的波函数，并且(1.3.1-9)1、力学量算符的矩阵元(1.3.1-10)如果动力学变量是实数，则期望值也必是实数，则矩阵元满足(1.3.1-11)2、力学量算符的迹(1.3.1-12)即矩阵对角元素之和。量子力学的物理内容常用迹来表示。①算符线性组合的迹等于算符迹的线性组合：(1.3.1-13)证明:6②循环对易规则几个算符乘积的迹，在循环对易下下不变(1.3.1-14)证明：一、薛定谔表象和相互作用表象考虑到物质与场的相互作用，哈密度包括未微扰哈密顿和

4、相互作用哈密顿，(1.3.1-15)由薛定谔方程求解出波函数：(1.3.1-16)①薛定谔表象(t)是时间的函数，但力学量算符不随时间而改变及(1.3.1-17)②相互作用表象(1.3.1-18)6令：(1.3.1-19)(1.3.1-20)(1.3.1-19)为相互作用表象中的态矢量，(1.3.1-20)为相互作用表象中的力学量算符。相互作用表象中力学量的期望值(1.3.1-21)③海森伯格表象态矢量与时间无关，但算符与时间有关(1.3.1-22)其中(1.3.1-23)由(1.3.1-23)定义的海森伯格算符服从

5、如下运动方程：(1.3.1-24)式中是泊松括号。§1.3-2密度算符及其运动方程一、投影算符1、定义假设是任意波函数，是完全正交集中的元素，可以用该正交集展开，我们可以用一个算符表示从的展开式中选出属于项的贡献，就成为为投影算符。(1.3.2-1)6例如：1、投影算符的矩阵元设是某一表象的完全正交集(1.3.2-2)2、用投影算符来表示力学量的期望值(1.3.2-3)3、投影算符的运动方程设是一个与时间无关的任意波函数6上式用到了(1.3.1-2)薛定谔方程，根据是厄米算符性质因此密度算符的运动方程：(1.3.2-

6、4)6