流函数势函数-第一章.ppt

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1、第六节速度势函数和流函数速度势函数速度流函数二维流动的表示一、速度势函数①定义（速度势函数的引入及存在条件）流体运动无旋流动涡旋流动否则，则称之为涡旋流动：如果在流体域内涡度为零，即:无旋流动；据矢量分析知识，任意一函数的梯度，取旋度恒等于零：对于无旋流动，必定存在一个函数满足如：或无旋流动，其速度矢总可以用函数的梯度来表示，把函数叫做速度的（位）势函数，可以用这个函数来表示无旋流动的流场。通常将无旋流动称为有势流动或势流。而引进了势函数后：②引入势函数的优点流速矢描述流体运动含有三个变量；需要给定三个变量刻画流体的运动情况。只要一个

2、变量（势函数）就可以来描述流体运动，大大地减少了描写流体运动所需的变量，简化了问题。由流速场与势函数的关系可知：流速矢与等位势面相垂直，由高位势流向低位势，等位势面紧密处，位势梯度大，相应的流速大；等位势面稀疏处，位势梯度小，相应的流速小。③用势函数来描述流体运动对于某一固定时刻=常数为一空间曲面，称为等势函数面或者等位势面。上式取不同常数不同的等位势面等位势面族。例1-6-1已知流体作无旋运动，对应的等势函数线分布如图所示（其中，<<）的，请判断并在图中标出A、B两处流体速度的方向，并比较A、B两处流速的大小。④势函数的求解假如流体

3、的散度为：根据势函数的定义有：其中，为三维拉普拉斯算子。可以看出，如果给定D，通过求解泊松（Poisson）方程，即可求得势函数。求解势函数的具体方法（仅考虑二维的情况）：（2）如已知速度场，可以先求出D，然后再求解泊松方程，最终得到势函数。（1）如已知D，直接求解泊松（Poisson）方程，可得势函数。①定义及存在条件二、速度流函数考虑二维无辐散流动，即满足：其流线方程为：无辐散流辐散流流体运动引入流体散度的概念之后，可将流体运动分为：根据格林积分公式（平面曲线积分与路径无关的条件）可知，满足无辐散条件下:流速与该函数满足：矢量形式

4、：积分以上的全微分形式，可以得到：=常数上式所描述的曲线就是流线，当然，它也是函数的等值线。将以上引进的函数称之为流函数，而流线也就是等流函数线。对某一固定的时刻：一空间曲线－－流线方程积分曲线。流速与该函数的关系－－－曲线的切线方向与流速矢的方向是相吻合的。（2）表征流体通量在流体中任取一条有向曲线AB，顺着该有向曲线流体自右侧向左侧的通量Q：曲线法向方向的单位矢量定义为：而：②引入流函数的优点流速在曲线法向方向上的分量（1）减少表征流动的变量AB引用流函数，并考虑：或表明:经过两点为端点的任何曲线的流体通量，决定于该两点的流函数差

5、，而与曲线的长度和形状无关。用流函数可以来方便地表征无辐散场的流体通量。同样，求解流函数的方法为：（1）已知涡度，直接求解泊松（Poisson）方程；（2）已知速度场，先求出涡度，然后求解泊松方程。（3）表征流体涡度由涡度的定义，可得到用流函数来表示的涡度表达式：可见，对流函数取拉普拉斯运算即可得到流体的涡度。三、二维流动一般二维流动，既不满足无旋条件，也不满足无辐散条件，流动是有旋有辐散的。此时，其涡度和散度均不为零，即满足：①无辐散涡旋流②无旋辐散流①②上式为大气动力学中广泛采用的形式。习题1-6-1已知二维流速场为：分别求势函数

6、和流函数存在的条件。习题1-6-2请问是否存在既满足无辐散条件又满足无旋条件的流动？如存在，请举例说明。①②课后习题习题1-6-3请证明无辐散的平面无旋流动：（1）流函数和势函数都是调和函数（满足二维拉普拉斯方程)（2）等势函数线和等流函数线正交。习题1-6-4平面流动的流线方程为：；由流函数全微分；当取常值时，也可以得到试问两式是否等价？请说明理由？§6速度势函数和流函数（概念、理解）①速度势函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；②流函数的定义、存在条件、表示流体运动的方法；③速度势函数、流函数表示二维流动。本节总结