同济第七版高等数学总复习.ppt

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1、一阶微分方程第七章11可分离变量的微分方程分离变量法2齐次方程233一阶线性微分方程4高阶微分方程1、可降阶的高阶微分方程的解法型接连积分n次，得通解．型代入原方程,得5型代入原方程,得62、线性微分方程解的结构（1）　二阶齐次线性方程解的结构:（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:7解的叠加原理8特征方程为3、二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程9特征方程为推广：阶常系数齐次线性方程解法特征方程的根通解中的对应项104、二阶常系数非齐次线性微分方程解法二阶常系数非齐次线性方程解法待定系数法.

2、1112向量的分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐标表示式：向量的坐标：1、向量的坐标表示法（一）向量代数第八章空间解析几何与向量代数13向量的加减法、向量与数的乘积等的坐标表达式14向量模长的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式15它们距离为两点间距离公式:162、数量积(点积、内积)数量积的坐标表达式两向量夹角余弦的坐标表示式173、向量积(叉积、外积)向量积的坐标表达式18方程特点:1.旋转曲面（二）空间解析几何19旋转单叶双曲面旋转双叶双曲面20xyz旋转抛物面oyzx21旋转椭球面ozyx2

3、2（2）圆锥面（1）球面（3）旋转双曲面232.柱面定义：平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的曲面称之.这条定曲线叫柱面的准线，动直线叫柱面的母线.24从柱面方程(的特征:二元方程)看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面母线//轴双曲柱面母线//轴抛物柱面母线//轴25抛物柱面xyzxyz椭圆柱面双曲柱面xyz263.二次曲面定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.（1）椭球面（2）椭圆抛物面27特殊地：当时，方程变为旋转抛物面（由面上的抛物线绕它的轴旋转而成的）28（3）马鞍面（4）单叶双

4、曲面（5）圆锥面294.空间曲线[1]空间曲线的一般方程[2]空间曲线的参数方程30CCC关于的投影柱面C在上的投影曲线Oxzy设曲线则C关于xoy面的投影柱面方程应为消z后的方程：所以C在xoy面上的投影曲线的方程为：[3]空间曲线在坐标面上的投影315.平面[1]平面的点法式方程[2]平面的一般方程[3]平面的截距式方程32[4]平面的夹角[5]两平面位置特征：//重合336.空间直线[1]空间直线的一般方程34[3]空间直线的参数方程[2]空间直线的对称式方程35直线直线^两直线的夹角公式[4]两

5、直线的夹角36[5]两直线的位置关系：//[6]直线与平面的夹角//37直线与平面的夹角公式[7]直线与平面的位置关系//38[8]点到平面距离公式比较中学所学的点到直线的距离公式:396.平面束定义:通过两相交平面交线的所有平面称为由这两个平面确定的平面束.设平面401、偏导数概念第九章多元函数微分法及其应用41422、全微分公式用定义证明可微与不可微的方法可微不可微43多元函数连续、可导、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导有极限3、关系444、多元复合函数求导法则定理1若函数在点处偏导连续

6、,在点t可导,则复合函数且有链式法则中间变量均为一元函数的情形在点t处可导，公式的记忆方法：连线相乘，分线相加.455、全微分形式不变性无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.46定理1设函数单值连续函数y=f(x),并有连续(隐函数求导公式)①具有连续的偏导数;的某邻域内可唯一确定一个的某一邻域内满足②③满足条件导数在点则方程在点6、隐函数的求导法则47定理2的某邻域内具有连续偏导数;则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数z=f(x,y),满足①在点若函数满足:②③某一邻域内可

7、唯一确48定理3的某一邻域内具有连续偏导数设函数则方程组③的单值连续函数计算偏导数按直接法求解.①在点②的某一邻域内可唯一确定一组满足条件满足:在点497、微分法在几何上的应用切线方程为法平面方程为(1)空间曲线的切线与法平面(关键:抓住切向量)501）空间曲线方程为法平面方程为特殊地：(取为参数)512）空间曲线方程为(取为参数)切线方程为法平面方程为52(２)曲面的切平面与法线切平面方程为法线方程为(关键:抓住法向量)53曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令则（特殊情形）548、方向导数

8、记为（1）方向导数的定义及存在的充分条件55三元函数方向导数的定义方向导数的存在性及其计算方法:定理那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在,且有56说明:可微沿任一方向的方向导数存在.反之不一定成立.(2)梯度的概念记为57梯度与方向导数的关系58则称函数在该点取得极大值极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的(极小值).定义:若函数在点的某邻域内有（1)二元函数极值的定义点称为极值点.9、多元函数的极值59定理1(必要条件)偏导数,且在