旋转经典练习题.doc

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1、旋转经典练习题1、操作：在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。研究：三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。三角板绕点P旋转，是否能居为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。解

2、：（1）由图①可猜想PD=PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE．理由如下：连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．∴∠ACP=∠B=45°．又∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，∴∠DPC=∠BPE．∴△PCD≌△PBE．∴PD=PE．（2）△PBE是等腰三角形，①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；②当PB=BE时，1）E在线段BC上，，2）E在CB的延长线上，；③当PE=BE时，CE=1．2.（1）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°

3、，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是． （2）如图2，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=60°、∠ADE=45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论．第5页共5页解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2=DE2；理由：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABD=∠ACE=45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，∴∠ABF=∠ACE=4

4、5°，FB=CE∴∠FBD=∠ABF+∠ABD=90°旋转角∠FAE=90°，又∠DAE=45°，故∠FAD=∠FAE-∠DAE=45°，易证△AFD≌△AED，故FD=DE，在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2=DF2；即：BD2+CE2=DE2．（2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB，故BF=CE，△AFD≌△AED，故FD=DE，∵∠ADE=45°，∴∠ADF=45°，故∠BDF=90°，在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2=BD2+DF2，∴CE2=BD2+DE2．3.(1)如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋

5、转60°得△BCQ,连结PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°．ABCPQ第3题图②①(2)如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连结PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ,连结PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明理由.QCPAB第3题图①第5页共5页4.、如图，在Rt⊿ABC中，AB=AC=2，∠BAC=900，将直角三角板EPF的直角顶点P放在线段BC的中点上，以点P为旋转中心，转动三角板的两直角边PE、PF分别与线段AC、AB相交，交点分别为N、M，线段MN、AP相交于点D。（1）请你猜

6、出线段PN与PM的大小关系，并说明理由；（2）设线段AM的长为x，⊿PMN的面积为y，请求出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）当三角板运动到使DM∶AM=4∶5时，求线段AM的长。5、已知等腰直角⊿ABC，一等腰直角板的一个锐角顶点与C点重合，将此三角板绕C点旋转时，三角板两边交直线AC于M、N。（1）当M、N在⊿ABC斜边AB上时（如图1）,求证：AM2+BN2=MN2；（2）当点M在AB上，点N在AB的延长线上时，猜想线段AM、BN和MN之间的数量关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，延长AN，使AN的延长线与三角板直角边的延长线交于点K，若AC

7、=3，BN=3时，求tan∠HKN的值。第5页共5页6、如图，⊿ABC为等边三角形，点P是边AC所在直线上一动点，连接BP，作∠BPQ等于600，直线PQ与直线BC交于点N。（1）当点P在边AC上时（如图1）试猜想AP•PC与AB•CN的大小关系；（2）当点P在如图2、图3所示位置时，上述关系是否成立？若成立，请选择其中一种情况给予证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中，延长BA交直线PQ于点M，若BC=2，CN=1.5求PM的长。7.已知四边形ABCD是由一个等边三角形和一