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《向量数乘运算及其几何意义平面向量的基本定理及坐标表示练习及答案.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、向量数乘运算及其几何意义平面向量的基本泄理及坐标表示重点知识归纳及讲解1、实数耳向最的积定义一般地，实数入与向量8的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作入乳其长度与方向规定如下：%1
2、入a
3、=
4、入
5、-
6、a
7、.%1当X>0nt，入3与a的方向和同；当X<0nt，入a与a的方向相反；当入=0时，Xa=0与a平行.运算律%1结合律入(ua)=(XU)a%1第一分配律(入+u)8=入a+卩8%1第二分配律入(a+b)=Xa+Xb2、两个向戢共线的充要条件(向最共线定理)定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且
8、仅有一实数入，使b=Xa.数学表达式b〃aOb=Xa(a^0,XeR).3、平面向最基木定理定理如果e「、e：：是同一•平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一向量a,有且仅有一-对实数X、入2,使8=・e+入e・基底不共线的8与&叫做平面内表示所有向量的一组基底.说明：(1)基底向最肯定是菲零向量.乩基底并不唯一•只要不共线就行.(2)山定理可将任一向量按基底方向分解旦分解形成唯一.4、平血向最的坐标表示定义若i、j为平面直角坐标系屮与x轴、y轴同向的单位向量，则对于平面内任•一向:fia,有且仅有一对
9、实数x、y,使得a=xi+yj；我们把(x,y)称为向量a的坐标.表达式a=xi+yj=(x,y)5、向最坐标丄j点坐标的关系意义表达式一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标•若AS,y_),B(x2,yj,则宓-刃).加法两个向量的和的坐标等于这两个向量相应坐标的和，即若a=(xt,y.),b=(x2,yj,则a+b=(x!+x2,%+yJ减法两个向量的差的坐标等于这两个向量相应坐标的差，即若a=(x,,y,),b=(x2,yJ,贝!Ja—b=(x;—x2,y：—yj实数与向量的积实数
10、与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标,即若a=(x,y),XGR,则Xa=(入x,Xy)7、平面向量共线的朋标表示设a=(x,,y.),b=(x2,y,),则b//a(aHO)oxy—x；y=0三、难点知识剖析1、向就共线的充要条件及平面向戢基本定理准确理解，把握平面向最基木定理的关键是对定理的条件和结论的毎个字的含义的理解.如向最共线的充要条件足理中有：(1)非零向最°；(2)有且只有一个实数入：⑶广=财:(4)条件与结论的互推.这四个方面我们要认真理解、记忆.2、要证明向量a、b共线,只需证
11、明存在实数入,使得b=Xa即可.如果a=b=0,数入仍然存在，此时入并不惟一,是任意数值.3、关于平面向量的坐标运算，要注意以下几点：(1)要清楚向量的坐标与表示该向最的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关.(2)通过建立直角坐标系,可以将平血内任一向最用一个有序实数对來表示：反过來，任一有序实数对就表示一个向最.这就是说,一个平面向最就是一个有序实数对.4、凡遇到与平行有关的问题时，一般地要考虑运用向杲平行的充要条件：(1)b〃aOb=入XgR)(2)b〃a(aH0)Oxy—xy=0,其中
12、a=(x,,yj,b=(x”y2)四、例题讲解例1、已知向杲8、b是两非零向最，在下列四个条件屮，能使a、b共线的条件是()①2a—3b=4e且a+2b=—3e：②存在相异实数入、「使Aa+ub=O：③xa+yb=O（其屮实数x、y满足x+v=O）:④已知梯形ABCD,其中==bA.©®B.©@C.@®D.③®解析：A、B均含有①，而C、D均含有④，所以可先判定①或④.若①能使a、b共线，则只有从A、B中进一步作出选择，若①不能使8、b共线，则应从C、D中进一步作出选择.首先判定①能否使8、b共线.山向最方程
13、组："2a=4e1-10a+2b可求得2严b=-y«>1・・・b=108,氏、b共线，因此可排除C、D.而山②可得—卩是相异实数，所以,Ab=-_a入、k!不同时为0,不妨设nHO,••・从,故a、b共线，所以排除B,选择A.答案:A例2、如图所示，已知梯形ABCI）屮AI）〃BC,E、F分別是Al）、BC边上的中点，且BC=3AI）,肚丸.*%试以氐b为基底表示匝旅丙分析：我们首先应根据AD/7BC且A【）=^BC,用b表示而，然后反复采用向量和与差的三角形法则就可计算出所求向量.解答：AD〃BC且AD=3
14、BC,AAD=1-BC=U,/.AE=1AD=U・3326==ib,.FZ=BK-EF=a-lb,222AEF=EA+AF=-AE-FA=-lb-(a-lb)=lb-a,623OT=DE+E?=EA+E?=-AE+E?CD=CF+FD=-(DF+FC)=-(DF+BF)A.1“=-(-b-a+—b)=a-62例3、如果向量畐眈F+m/,其中i、j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值
