桌面编题三则.doc

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1、编题三则杭州二中陈永毅随着新课程的落实和不断深入，高考数学命题以考查思维能力为核心，全面考查各种能力，强调整体性，综合性，探究性和应用性。在知识网络的交汇处设计命题是命题的原则。新课标也特别强调各知识分支的有机结合，交汇渗透。每次出卷，特别高三命题，要求一份试卷要有亮点总得放几个新颖的题目，原创或改编的，特别是压轴题需要新颖些，以新面孔出现，体现一种公平，考查学生的能力，使有水平的学生考到高分，这就需要我们动些脑筋。出试卷前，我们总要去翻番以前学过的高等数学课本，去图书馆翻番最近的杂志，从中得到一些新的想法，去编试题。分析最近几年高考压轴题知识点分布情况：数列，不等式，导数，解析几何等。我

2、们主要从下面几个方面思考；（1）从竞赛内容，高等数学知识背景出发，编试题高考命题人是大学教师，了解他们最熟悉是的高等数学，结合中学数学的知识内容，找有高等数学背景，又能用中等数学的方法解决，在这些知识块中去寻找。试题1已知：设，，，，（1）比较与，与，与的大小；（2）证明：；；（3）已知数列的极限存在，并且数列极限是方程的一个正根；设，，．求证：。设计意图：（1）要求新颖，具有深刻的高等数学知识背景，“单调有界数列必有极限”，以及“利用切线法求方程的近似解”。本题考查的是数列，不等式的综合应用，分类讨论的思想，考查运算及逻辑推理能力，解题思路宽，对不同层次的理性思维，创新思维进行了综合考查

3、，给优秀学生一个展示能力的空间。1．连分数问题可以与数列的递推联系起来，因此想到最简单的式子：，，，，从中也可以看到一种形式上的美。（1）的设计，给学生一个了解试题的过程，能够入手；由（1）计算知道数列在为奇数或偶数时单调性是不一致的，设计问题（2）2．在《数学分析》中利用切线法求近似值时，图象一次比一次要精确，即近似值越来越接近正确值，体现一种单调趋势，但这些值总是大于正确值；即数列是递减数列，并且总是大于，于是有了想法（3）解（1）由计算得：，，；（1）比较与的大小，只要比较与的大小，可得只要比较与的大小即可，由此可得；同理，可以证明；或者：（学生通常）采用数学归纳法给出证明；为什么会

4、出现两种不同的单调顺序，由于函数在为减函数，函数即在上为增函数之故。（3）利用部分分式法得=。又由得=，函数在上单调减函数，故。联想：（1）设，得===因此我们还可以得到试题：（1）求使恒成立的常数；（2）求数列的通项公式；（3）证明：。事实上我们在求数列的通项时采用了不动点原理，即定理：设，数列由出始条件和递推关系确定，那么，当且仅当，，和是的两个不动点时，有（）给学生设计一个铺垫：求使恒成立，使学生不知道不动点问题，如果善于观察也能够解决此问题，降低了问题的难度。联想（2）在《数学分析》中利用切线法求近似值时，为什么中前面的系数是，而不选择其它，带着这一疑问，设计了值，让学生探究对于，

5、是否有：，并且为1是最佳的选择？点评：以上试题注重了对数列递推关系的处理，隐含了不动点的方法，合理设计了梯子，使学生有梯可攀，这也是高考题与竞赛题的最大区别。（2）改编陈题，推陈出新题2已知函数部分图象，如图所示（，且，）。（1）求的表达式；xO－11yxyO1-1-1（2）设函数(常数且)，且对其定义域内的每一个,都有,那么.①证明上述命题;②写出上述命题的逆命题.若逆命题正确,请加以证明;若逆命题不正确,请举出一个反例说明.试题（1）是我们经常看到的试题，注意到绝对值不等式与线性归划的交汇我们改编得到问题（2）而来的。变换角度考虑问题，转化为线性规划问题，设计二元变量，结合不等式，转化

6、为线性规划问题，考查学生分类讨论思想及命题的概念，设计意图简单明了。解由（1）得到；我们说能够避免讨论是最高境界，学生有以下巧解由（1）得到；…………………1分（2）①因为时都有,即，，…………………1分故当时,;当时,故总有.②逆命题是:设函数(常数且)的定义域是.如果,那么对于定义域内的每一个,都有.此逆命题不正确.反例:时,但是时，.这完全在于学生对问题的完全把握，试题考出了学生的思维品质。分析：（2）为什么取，取时得到关于的不等式，取时得到关于的不等式，这样利用不等式取等号的条件，解决了问题。（3）取是取在区域外，保证了，否定了，因为由条件与条件表示的区域是不同的。根据浙江省07年

7、高考21题，我们教学想在每周一练中考察一下，学生对方缩法是否掌握，我们寻找了一个模型：，要对它进行放缩，因此改编了以下试题：题3已知：正项数列的前项和为，且满足，（1）求数列的通项公式；（2）求证：。解：由（1）只要以代入，得，两式相减得：，因为数列是正项数列，，得，注意到此时，数列为等差数列，首项满足，得，所以；（2）对学生进行考试后，得到一些来自于学生的精彩证明：方法1：当时，，。方法2：利用得。方法3进行分段估计，