数学物理方法.doc

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1、数学物理方法第12章数学模型——定解问题12.1引言数学物理方程（简称数理方程），通常指从物理问题导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程。数学物理方程一般可以按照所代表的物理过程（或状态）分为三类：（1）波动方程（双曲型方程）（2）输运方程（抛物型方程）（3）拉普拉斯方程（或泊松方程）12.2数学模型的建立12.2.1振动方程1.弦的横振动方程（,而及分别是弦处于平衡位置时弦上的张力及线密度。）若设弦的重量远小于弦的张力，则。若在弦的每单位长度上还有外力密度F(x，t)的作用，则上式将改写成（）2.杆的纵振动方程其中（E为弹性模量，为密度）3.电报

2、方程（传输线方程）方程其中，L、R、C、G分别为电感、电阻、静电电容、漏电导，v为电压，i为电流。12.2.2热传导方程1.方程（，即热扩散系数。是材料的导热系数，它是一个正的标量。C是物质的比热容）这就是含有热源的各向同性物体的热传导方程补充：按照傅里叶定理，对于均匀的、各向同性的固体（即材料的导热系数不随方向而变），热流密度q与温度u之间存在下列热传导法则2.扩散问题扩散规律：其中u为物质的浓度，为粒子流量，D为物质的扩散系数。扩散方程。（D，即扩散系数）12.2.3拉普拉斯方程（或泊松方程）如果热传导过程（或扩散过程）达到稳定状态，即温度（或浓度

3、）的分布不随时间变化，此时方程可化简为=0，即拉普拉斯方程，它描述稳定的温度（或浓度）的分布。12.3定解条件12.3.1初始条件初始位置用表示初始速度用表示12.3.1初始条件（一）振动问题（杆的纵振动）（1）若杆的两端是固定不动的，则边界条件是显然的U(0,t)=0u(l,t)=0（2）当杆的两端按给定的规律移动时，则边界条件为(0

4、傅里叶定律单位时间内，通过单位面积的热流为，其中u是所在位置上物体的温度，是热传导系数。牛顿定律单位时间内，通过单位表面积流入周围介质的热流为式中u是物体表面的温度，是周围介质的温度，是热交换系数，n是所考察表面的外发现方向的单位矢量。热传导问题的边界条件（1）当杆的两端温度按给定规律变化时，则边界条件为(0

5、界条件：式中表示边界上的点。以上三类边界条件都是线性的。当时，称为齐次边界条件；当时称为非齐次边界条件。第13章二阶线性偏微分方程的分类13.1基本概念偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如其中是未知多元函数；为的偏导数，有时为了书写方便，通常写作，…方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶。方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数。线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的称为非线性方程。准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的

6、，则称为准线性方程。自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项。齐次方程没有自由项的偏微分方程称为齐次偏微分方程。否则，称为非齐次偏微分方程。方程的解如果一函数带入偏微分方程后，使方程化为一个恒等式，则称这函数为方程的解。通解通解是指包含任意独立函数的方程的解，且独立函数的个数等于方程的阶数。特解从通解中特殊的选定任意函数而得到的解，称为方程的特解。13.2二阶线性偏微分方程的分类及标准化含有两个自变量的二阶线性偏微分方程的一般形式为根据判别式的符号将方程分类：当>0时，称为双曲型当=0时，称为抛物型当<0时，称为椭圆型特征方程：（特

7、征曲线族）这个曲线族，根据判别式的不同符号（正、零、负），分别对应于两个是函数族，一个实函数组，一对共轭复函数族。13.2.1双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程的第一种标准形式令，进行自变量变换则双曲型偏微分方程的第二种标准形式令，则例题13.2.1原方程为(Y<0)在y<0的区域中，其判别式∆=B2−4AC=0-4y>0,所以方程为双曲型。其特征方程为(dy)2+y(dx)2=0即：该微分方程的解为x+2=常数C1,x-2=常数C2是两族函数曲线。若令或令带入原方程得所以原偏微分方程化简为下列标准形式13.2.2抛物型偏微分方程因为抛物型方程的判别式=

8、0，所以特征曲线是一族实函数曲线设特征方程的解为常数c，令，进行自变量变换，则抛物型偏微分方程