数值计算方法习题答案第三章数值积分.doc

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1、第三章习题答案1.分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分计误差。解：1）用梯形公式有：事实上，2）Simpson公式事实上，3）由Cotes公式有：事实上，2．证明Simpson公式具有三次代数精度。证明：而当时左侧：右侧：左侧不等于右侧。所以Simpson具有三次代数精度.3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson计算下列积分.(1)，（3），解：（1）用复化梯形公式有：，由复化Simpson公式有：解：删去解（3）：由复化梯形公式有：由复化公式有：（4）解：由复化梯形公式：由复化Simpson公式：4．给定求积节点试推出计算积分的插值型求积公式，并写出它的截断误

2、差。解：考虑到对称性，有，于是有求积公式由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3阶精度。事实上，对原式左右两端相等：此外，容易验证原式对不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。5．给定积分。（1）利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过（2）取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时，截断误差是多少？（3）如果要求截断误差不超过，那么使用复化Simpson公式计算时，应将积分区间分成多少等分？解：(1)=,当误差时，25.6,所以取=26。（2）6．用Romberg求积方法计算下列积分，使误差不超过。（1）；（2）；（3）;(4)解（

3、1）：计算可以停止。解（2）：（3）解:解（4）:7．推导下列三种矩形求积公式：证明：将在处Taylor展开，得两边在上积分，得将在处Taylor展开，得两边在上积分，得将在处Taylor展开，得两边在上积分，得8．如果证明用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大，并说明其几何意义。证明：复化梯形公式为若在上连续，则复化梯形公式的余项为由于且所以使则(1)式成为：又因为所以即用复化梯形公式计算积分所得结果比准确值大。其几何意义：曲线在定义域内是向下凹的，即曲线在曲线上任两点连线的下方。9．对构造一个至少具有三次代数精度的求积公式。解：因为具有4个求积节点的插值型求积公式，至少有三次代数精度

4、。如果在上取节点0，1，2，3，则插值型求积公式为：　　　　　　　　　　　　其中系数为　　　　　　　　　　　　同理求得　　　　　　　即有：　　10．判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：解：插值型求积公式其中则因此，是插值型的求积公式。因其求积公式是插值型的，且存在2个节点，所以其代数精度至少是1。对于时，可见它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。11．构造下列求积公式，并指明这些求积公式所具有的代数精度：解（1）：令原式对于准确成立，于是有解之得，于是有求积公式容易验证，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是1。解（2）：令原式对于准确成立，于是有解之得于是有求积

5、公式容易验证当时，而可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是3。解(3)：令原式对于准确成立，于是有解得:于是有求积公式容易验证，当时，而可见，它对于不准确成立，故该求积公式的代数精度是2。12.利用代数精度方法构造下列两点Gauss求积公式：解（1）：令原式对于准确成立，于是有　　　　　利用的第1式，可将第2式化为　　　　　　　　　　　　　　　　　　同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得　　　　　　　　　　　　　由式消去得　　　　　　　　　　　　　　　　进一步整理　　　　　　　　　　　　　　　　由此解出　　　　　　　　解得：　　　　　因此所求的两点Gauss求积

6、公式：或依下面的思想：解（2）：令原式对于准确成立，于是有　　　　　　利用的第1式，可将第2式化为　　　　　　　　　　　　　　　　　同样，利用第2式化简第3式，利用第3式化简第4式，分别得　　　　　　　　　　　　　由式消去得　　　　　　　　　　　　　　　　进一步整理　　　　　　　　　　　　　　　　由此解出　　　　　　　　解得：　　　　　因此所求的两点Gauss求积公式：或依下面的思想：13．分别用三点和四点Gauss－Chebyshev求积公式计算积分，并估计误差。解：用三点Gauss-Chebyshev求积公式来计算：　　　此时，　　　由公式可得：由余项可估计误差为　　　用四点Gauss

7、-Chebyshev求积公式来计算：　　此时，　　　　　　　　　　　由余项可估计误差为　14．用三点求积公式计算积分，并估计误差。解：作变换则得　　　　　　由三点Gauss-Legendre公式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　其估计误差为：,（）。其准确值　其准确误差等于：