勾股定理的多解问题.doc

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1、勾股定理的多解问题———分类讨论abc图（1）勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。如图（1）即：a2+b2=c2运用勾股定理解题时，由于题目的条件不明确，会引起一题多解的现象，这时若能利用分类讨论思想进行解答，则可确保结果不重不漏，下面我们就举两个例子讨论一下。例1、直角三角形有两条边长分别为3和4，请问第三条边长是多少？分析：题目没有图，也没有说明两条边是直角三角形的哪两条边，所以我们可以分类讨论：（1）3和4可能是两条直角边，如图（2）；（2）3和4可能一条是直角边和一条是斜边，如图（3）。34图（2）解：如图（2）a=3b=4根据勾股定理

2、c2=a2+b2=32+42=25所以c=534图（3）如图（3）b=3c=4根据勾股定理c2=a2+b242=a2+32a2=16－9=7所以a=答：第三条边长是5或。例2、已知△ABC，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则BC的长为（）3A.21B.9C.16D.21和9分析：题目没有图，所以我们可以分类讨论：（1）高线AD可能在三角形形的内部，如图（4）；（2）高线AD可能在三角形形的外部，如图（5）。A解：如图（4）BCD图（4）在Rt△ADB中根据勾股定理AB2=AD2+BD2172=82+BD2BD2=172－82=225所以BD=15在Rt△A

3、DC中根据勾股定理AC2=AD2+CD2102=82+CD2CD2=102－82=36ACD图（5）B所以CD=6所以BC=BD+DC=15+6=21如图（5）在Rt△ADB中根据勾股定理AB2=AD2+BD2172=82+BD2BD2=172－82=225所以BD=15在Rt△ADC中3根据勾股定理AC2=AD2+CD2102=82+CD2CD2=102－82=36所以CD=6所以BC=BD－CD=15－6=9故答案选：D练习：1、一直角三角形两边长为5和12，则第三边的长为（）A.13B.C.13或D.2、已知两边的长分别为8和15，若要组成一个直角三角形，则第三边

4、应该为（）A.不能确定B.C.17D.17或3、已知△ABC，AB=10，AC=17，BC边上高AD=8。则△ABC的面积为（）A.168B.84C.84或36D.168或72答案：1、C2、D3、C3