“LG手机日”大型活动策划思路.ppt

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1、一、变限积分与原函数的存在性本节将介绍微积分学基本定理,并用以证明连续函数的原函数的存在性.在此基础上又可导出定积分的换元积分法与分部积分法.§5微积分学基本定理数学分析第九章定积分三、泰勒公式的积分型余项二、换元积分法与分部积分法*点击以上标题可直接前往对应内容变限积分与原函数的存在性为变下限的定积分.为变上限的定积分;后退前进目录退出变限积分与原函数的存在性于是由x的任意性,f在[a,b]上连续.变限积分与原函数的存在性定理9.9（变上限定积分的连续性）证则定理9.10（微积分学基本定理）若f在[a,b]上连续,上处处可导,且由于f在x处连续，因此

2、证变限积分与原函数的存在性注1本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似续函数必存在原函数”这个重要结论.乎不相干的概念之间的内在联系,也证明了“连变限积分与原函数的存在性注2由于f的任意两个原函数只能相差一个常数,所以当f为连续函数时,它的任一原函数F必为解：由与复合而成.例1.求下列积分上限和积分下限函数的导数：变限积分与原函数的存在性例2.解:原式求变限积分与原函数的存在性用罗比达法则定理9.11（积分第二中值定理）设f在[a,b]上可积.(i)若函数g在[a,b]上单调减,且则存变限积分与原函数的存在性(ii)若函数g在[a,b]上单调增,且则存证

3、这里只证(i),类似可证(ii).(1)对任意分割T：证明分以下五步:变限积分与原函数的存在性变限积分与原函数的存在性变限积分与原函数的存在性(4)综合(2),(3),得到变限积分与原函数的存在性即推论变限积分与原函数的存在性证若g为单调递减函数，则h非负、单调减,由定理9.11(i)，即得变限积分与原函数的存在性因此定理9.12（定积分换元积分法）换元积分法与分部积分法则证的一个原函数.因此换元积分法与分部积分法注与不定积分不同之处:例3解（不变元,不变限）元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.保留原积分变量，因此不必改变积分限;用原变量代回.

4、定积分换元后不一定要一般说来，用第一换元积分法时，用第二换换元积分法与分部积分法例4解（变元,变限）换元积分法与分部积分法例5解（必须注意偶次根式的非负性）换元积分法与分部积分法例6解换元积分法与分部积分法因此,换元积分法与分部积分法抵消定理9.13（定积分分部积分法）若u(x),v(x)为[a,b]上的连续可微函数,则有定积分的分部积分公式：证因为uv是在[a,b]上的一个原函数,移项后则得所以换元积分法与分部积分法例7解换元积分法与分部积分法例8解于是换元积分法与分部积分法由于换元积分法与分部积分法所以同理换元积分法与分部积分法由此可得沃利斯（Wa

5、llis）公式：换元积分法与分部积分法若u(x),v(x)在[a,b]上有(n+1)阶连续导函数,则泰勒公式的积分型余项由此可得以下带积分型余项的泰勒公式：泰勒公式的积分型余项用分部积分公式n次，可得则则证泰勒公式的积分型余项注由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日余项：泰勒公式的积分型余项不变号如果直接用积分第一中值定理,可得泰勒公式的积分型余项若记此式称为泰勒公式的柯西型余项.(2)给出正确证明.要求:(1)指出其中三处错误;