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时间:2020-03-18
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1、数学建模竞赛讲座东南大学数学系陈恩水2010.06CUMCM09年B题“眼科病床的合理安排”解题思路解析全国大学生数学建模竞赛开始于1994年。它是教育部主办的两项规模最大的大学生课外科技活动。数模竞赛每年一次电子竞赛两年一次其他的竞赛均由行业协会或各部委主办。数模竞赛由各赛区组织。全国由30各赛区。分本科组与专科组进行。2009年全国参赛队15000多队。江苏赛区与北京赛区2009年共有来自55所本科院校904队,23所专科学校132队参赛。参赛队50以上:东大、矿大、南大40队以上解放军理工、南邮、河海、信大全国1等奖1.8%左右,全国二等奖7%左右。省1等奖5%,2等奖10%,
2、3等奖13%左右。各校通过周末讲座、暑假培训提高竞赛技能。问题与背景见附件源数据信息门诊情况(人数与时间)入院情况手术情况出院情况评阅原则本题解题方法比较多,结果也未必一致,评阅时主要以解题过程中体现出的对问题的理解程度与建模能力为依据。该问题是随机问题,主要是统计方法寻找统计规律(主要指随机变量之间的联系,随机变量分布,随机事件的概率或频率等。)本题特点:信息全,数据量不大,开放性强,问题明确,任务多,可以参考文献少。建模准备数据分析与检验●门诊情况等待入院等待手术术后恢复原方案先到先服务病床有效利用率不高病人到达人数服从Poisson分布(画频数(率)直方图),分布检验,分布参数提
3、取(重要信息);各类就诊病人占总就诊病人比例各类病人每天出院情况白内障病人入院后1-2天即可做手术,但是统计该指标得白内障单眼病人需要等待2.38天,白内障双眼病人需要等待3.63天,远大于1-2天。拟合优度法检验(卡方检验或F检验)●术后住院时间分布:正态分布orГ分布or先验分布(非重要信息);●估计5类病人住院时间的均值与方差。检验。●术前住院时间过长,关键信息。理论分析认为:每天就诊人数与出院人数基本相等,可以做到队长不变的理想情况。原方案的分析先门诊先入院,不存在插队情况,对各类病人都公平。术前等待时间长,入院等待时间长。方案不合理的地方。第一问●评价指标可分两类:效率指标和
4、公平性指标,这两个指标可以有各种不同的定义,其合理性是评分依据。●效率指标——平均术前住院时间,或病床有效利用率。也可以是等待入院时间等。不必要引入过多实质上相同的指标。●公平性指标——“插队人数比例”。(容易被忽略也可以有不同理解)原方案的唯一准则,自然有其合理性。第二问本问主要考核能否给出一个相对合理的病床安排模型,主要目标为:提高病床有效利用率以及提高公平度。就提高病床有效利用率而言,病人术后住院时间是一个不可优化的量,所以只能在术前等待时间上作文章。经对问题的分析可知:对白内障病人的入院时间加以限制成为提高效率的必然选择。本问主要解决方法是仿真方法,大致可分为“先仿真,再优化”
5、与“边仿真,边优化”两类,前者是先确定若干种住院规则,然后根据仿真统计结果选出较优规则;后者是先确定一个优化原则,然后在仿真时,对每一个排队病人按照该优化原则决定住院先后。显然后者要更好一些。优化的入院规则规则一:按照病人的可入院时间,在确定一周中某天哪个病人入院时,病人采用FCFS服务制(白内障除外);规则二:优先排急症病人;规则三:白内障病人的术前住院时间为1—2天;视网膜疾病、青光眼两类病人术前住院时间为2-3天;外伤手术有空床即安排入院,第二天手术;规则四:选择一周为一周期;规则五:周六、周日除了外伤病人以外,优先安排白内障(双眼)病人入院。根据以上准则及原来的方案通过计算机模
6、拟给出一段时间的模拟,分别计算评价指标,说明方案的优劣。各类病人的平均住院时间缩短1-2天,公平性下降5%左右(模拟值)。仿真注意事项如何产生就诊人的队列(计算插队时用)如何处理出院分布如何根据出院情况及入院准则安排入院计算总等待人数计算插队人数计算床位有效利用率第三问此问希望学生给出一个满足一定置信度(例如:90%)的预约住院时间区间,区间长度越短越好。一种自然的想法是通过同类病人术后住院时间的概率分布从理论上得到这一区间,但这样做的一个困难是已处于术后住院状态的该类病人的继续住院时间不服从同一分布,从而将该类病人(含已住院与未住院)的预计住院时间求和后的随机变量的分布不知道。设当前
7、时刻为T0,当前排队人数为P,预计住院时刻为T,病人每日出院人数的统计平均值为α,则设一个已出院病人实际住院时刻为T1,通过仿真统计一段时间内所有病人的根据90%的置信度确定两个阈值从而得到当前病人的预计住院时间区间为。现有等待人数条件下第四问若仍采用“一三方案”,效率较低,通过分析可以发现主要原因是对视网膜与青光眼病人而言,会造成病床使用效率降低。通过有限种方案的仿真计算比较可知,采用“二四方案”或“三五方案”可使病床使用效率有所提高。前者效
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