面积法证明余弦定理.doc

《面积法证明余弦定理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、以下资料引自：张景中、彭翕成所著《绕来绕去的向量法》和《仁者无敌面积法》。面积解释如图9，以△ABC的三边为边长向外作三个正方形，，交AB于K。据说欧几里德就是利用此图形证明勾股定理的。易证(最好是将看作是旋转而成)，进而可得；同理，所以直角三角形斜边上的正方形面积等于两直角边上两正方形面积之和。此处还有一个副产品：等价于，无需用到相似，轻松可得射影定理。图9图10假若不是直角三角形呢？如图10，△ABC的三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，而且两两相等，，，，则，轻松可得余弦定理。例1：证明余弦定理。勾股定理只是对于直角三角形成立，很有必要将之推广到一般三角形的情形，这样在使用的时

2、候才方便。在第一章中已经介绍了面积法证明余弦定理了，下面再介绍三种面积证法。证明勾股定理主要用到平移，而证明余弦定理则可能需要用旋转。余弦定理证明1：如图1，将△ABC绕点B旋转一个较小角度得到△DBE，则；由面积关系得，即，即，化简得。图1图2如果认为证法1较麻烦，也还有简单的证法。余弦定理证明2：只要注意到，，立马可得。余弦定理证明3：如图3，在△ABC中，设三边长度为a，b，c，在AB边上取点E，使得；在AB边上取点D，使得；易得△AEC∽△CDB∽△ACB，；由得，化简得。图3在作者所著《从数学教育到教育数学》一书中，还介绍了几种用面积法证明余弦定理的证法，有兴趣的读者可查阅。

3、在以上三种证法当中，证法2无疑是最美妙的，完全达到无字证明的境界。所谓无字证明，是指不用或用少量文字说明就能解释一些数学定理。国外研究者甚多，称之为proofwithoutwords。向量数量积我们现在要强调向量数量积的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。而，所以又可以等于：的长度与在方向上的投影的乘积。通俗说来，就是与，谁往谁身上靠都可以！一些资料都指出了暗藏余弦定理，但没有进一步的研究。在实数运算中，我们容易构建图形说明。在向量运算中，如何构造图形说明呢？如图1，以△ABC三边的三边为边长向外作三个正方形，三高的延长线将三个正方形分为6个矩形，由得，即，同理，，则。注意到J

4、、C、A、L四点共圆，这说明向量数量积还暗藏圆幂定理。所以说，别小看，不是简单交换顺序那么简单，中间值得研究的东西多着呢！图1面积法与勾股定理1面积法的源起利用面积关系来说明数学中的某些恒等式、不等式，或证明某些定理，这是一个古老而又年轻的方法。说它古老，是因为：早在三千多年前，在几何学还没形成一门系统学科时，人们已经会用这种方法来解决某些问题了。说它年轻，是因为：直到今天，人们并没有给它足够的重视，因为这种方法的潜力远没有得到发挥。它广泛的、五花八门的用途，虽然已经逐步被各种竞赛教材所吸收，但还很少在正式的教科书、教学参考书和各种学生读物中得到系统的阐述。几何学的产生，源于人们对土地

5、面积测量的需要。翻开任何一本关于数学史的通俗读物，差不多都记载着这样的故事：在古埃及，尼罗河每年定期泛滥。洪水带来了尼罗河肥沃的淤积泥土，这让人们在干旱的沙漠地区种植农作物提供了很好的条件。随之也带来了一个问题，因为洪水在带来肥沃土壤的同时，也抹掉了田地之间的界限标志。洪水消退后，人们要重新画出田地的界限，这就必须丈量和计算田地的面积。年复一年，这就积累了最基本的几何知识。这样看来，从一开始，几何学就和面积结下不解之缘。英文中的“几何”——“Geometry”，这个单词的字头“Geo-”，便含有土地的意思。利用面积关系证明几何定理，最早的例子是勾股定理的证明。勾股定理是几何学中的一颗璀

6、璨明珠，历史悠久，证法繁多。千百年来对它的探讨从未停止过，人们不断提出新的证法，其中有著名的数学家，也有业余的数学爱好者；既有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。图1-1和图1-2都是勾股定理的经典证明。图1-1取自趙爽（三国时代人，生活于公元3世纪）注《周髀算經》（1213年宋版），此证法一般被称为赵爽弦图证法；图1-2取自徐光启、利玛窦合译的《几何原本》，该证法一般被称为欧几里得证法。图1-1图1-22002年8月20-28日，世界数学家大会在北京召开。大会所使用的会标就是赵爽弦图(图3)。图3图4勾股定理相当重要，被称为是几何学的基石。经过不断探索研究，据说到现在，

7、已经有400多种证法了，无疑成为数学中证法最多的定理。勾股定理被发现之后，数学家们除了不断寻找新证法，也在寻找应用。勾股定理的一个直接应用就是希波克拉底发现了月牙定理。如图4，直角三角形的面积等于两个月牙面积之和。就是这么一个简单的图形，掀起了很大的风波，误导了很多数学爱好者。月牙形是曲线形，直角三角形是直线形，直线和曲线是如此地不同，因此很容易使人产生错觉，似乎直线形的面积是不可能等于曲线形的面积的。然而正是希波克拉底的这个月牙图形，证明了直