《一阶变分变分法》PPT课件.ppt

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1、dL1.变分法1.1泛函与变分定义1.1.1泛函的概念引例1：平面两点A(x0,y0)、B(x1,y1)，求连接A、B两点的最短弧线。解：设A、B两点间函数为y=y(x)则由弧长微分公式L随函数y=y(x)的选取而变，它是一个泛函。用间接法确定使L最短的函数曲线即泛函有极值的自变函数曲线为y=c1x+c2,1阶导数2个待定常数其中常数c1、c2可由边界点A、B的坐标（即边界条件）确定。B(x1,y1)图1.1两点间的最短弧线yA(x0,y0)y=y(x)xo引例2：求通过两点A(x0,y0)、B(x1,,y1)且长度l为一定值的函数曲线y=y(x)，使图中曲边梯形ABCD的面积AS达

2、到最大。（1.2）AS依y的选取而定，它也是一个泛函，约束条件为AB长度（1.3）这是带约束条件的泛函极值由间接变分法，泛函As的极值曲线为其中常数c1,c2,r可由条件来确定。图1.2曲边梯形的面积xA(x0,y0)yoB(x1,y1)CDy引例3：由最小势能原理，变形全能随所选取的三个位移函数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不变条件L、As、Φ都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随自变函数而变的量称为泛函。用符号φ、J表示，记作φ[y(x)]或φ(y)等。变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。1.1.2泛函自变函数的变分函数y=y(x),自变

3、量为x，增量△x,称dx为自变量x微分。泛函φ[y(x)],自变函数为y(x)，当△y(x)变化无限小时，称为自变函数的变分，表为δy(x)，δyδy是指函数y(x)和跟它相接近的另一函数y1(x)的微差。零阶接近度：对任何x值，一阶接近度:不仅纵坐标值很接近.y1(x)和y2(x)的差都很小，δy=y2(x)–y1(x)δy=y2(x)–y1(x)很小.δy′=y(x)′–y1(x)′也很小…………n阶接近度：图1.3曲线的接近度(a)yxoy2=y2(x)y1=y1(x)(b)yx0y2=y2(x)y1=y1(x)dy和δy的区别dy:是针对一条曲线y=y(x)，当△x=dx时函数值增量的

4、线性主部是dy。dy一般不等于零。？δy：是在x不变时，针对两条接近的函数曲线y(x)和y1(x)的微差y。y是x的函数。y在边界点一定为零。y=y(x)xyodyδyy1=y1(x)△x=dx图1.4dy和δy的区别y1.1.3泛函的变分微分一般定义：△y=y(x+△x)-y(x)＝A(x)△x+(x,△x)△x拉氏定义：微分也等于y(x+ε△x)对ε导数在ε=0时的值。(1.5)泛函变分定义一般定义：是泛函增量的线性主部拉格朗日定义即证明了拉格朗日的泛函变分的定义：例：简单泛函一阶变分。泛函二阶变分及增量为：1.2变分运算与泛函极值条件12变分号可由积分号外进入积分号内1.2.

5、1运算规则1.2.2泛函极值的条件泛函极值条件与函数极值条件具有相似的定义。如果泛函取极小值,泛函取极大值(1.17)1.3变分基本引理与欧拉方程1.3.1变分基本引理设F(x)在[x0,x1]上连续，(x)是一类任意的连续函数，一阶或若干阶可微；在线段（x0，x1)端点为零；若下列积分为零则在[x0,x1]上就有F(x)≡0.证明用反证法1.3.2欧拉方程端点固定条件由基本引理式(1.18)注意到F（x,y,y')是对x的全导数代人式(1.20)上述欧拉方程为二阶偏微分方程。解此方程可求出使泛函Φ(y)达到极值的y(x)，称间接解法.其它欧拉方程形式为：泛函形式欧拉方程边界固定，依赖高阶导

6、数的泛函边界固定，依赖于多元函数的泛函边界固定，依赖多自变函数一阶导数的泛函约束条件：1.4泛函的条件极值变分法表1.1第四行：构成新的泛函新泛函欧拉方程组共k+n个方程，k+n个未知数：边界条件：2n?个积分常数1.5泛函极值的直接解法以求解欧拉方程求极值函数（解析解），叫泛函变分的间接解法，用近似方法直接求极端函数，叫直接解法，包括：有限差分法，里兹法，康托罗维齐法，有限元法，搜索法等，直接解法简单，得到近似解。1.5.2里兹法设y是泛函(y)取极值m的极端函数，若（试验函数）,满足给定的边界条件，且使泛函之值接近于m,则就是该问题的近似解.步骤：为n个任意的待定常数，wi彼此线性无关,

7、经先微分后积分(i=1,2,…,n)，解上述方程组来确定ai,代回原式即可，1.5.3康托罗维奇法－化偏微分为常微分方程组依赖多自变量的单自变函数的泛函选取以权重自变量xn为自变量的Ai(xn)待定函数；以其余自变量构成选取函数ψi(x1,x….xn-1)；要满足给定边界条件。经微积分运算化掉x1,x2….xn-1，得到以为自变函数新泛函（多自变函数单变量）代人原式即得到近似解。泛函解法综合例例：