《不变因子》PPT课件.ppt

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1、§2λ－矩阵在初等变换下的标准形§3不变因子§1λ－矩阵§4矩阵相似的条件§6若尔当(Jordan)标准形的理论推导§5初等因子第八章λ─矩阵§8.3不变因子一、行列式因子二、不变因子§8.3不变因子§8.3不变因子1、定义一、行列式因子注意级行列式因子（determinantdivisor）.的首项系数为1的最大公因式称为的中必有非零的级子式，中全部级子式设　－矩阵的秩为，对于正整数，若秩，则有个行列式因子.§8.3不变因子各级行列式因子.（1）（定理3）等价矩阵具有相同的秩与相同的（即初等变换不改变－矩阵的秩与行列式因子）2、

2、有关结论§8.3不变因子证：只需证，－矩阵经过一次初等变换，秩与行列式因子是不变的．设经过一次初等变换变成，与分别是　　与　　的k级行列式因子．下证，分三种情形：§8.3不变因子此时的每个级子式或者等于的某个级子式，或者与的某个因此，是的级子式的公因式.1）从而级子式反号，§8.3不变因子2）或者等于的某个级子式，此时的每个级子式因此，是的级子式的公因式.从而或者等于级子式的c倍.的某个§8.3不变因子此时中包含两行的和不包含3）级子式与中对应的级子式相等；中包含行但不包含行的级子式，按行分成的一个级子式与另一个级子式的倍的和，即

3、为的两个级子式的组合，行的那些§8.3不变因子从而因此是的级子式的公因式，同理可得，§8.3不变因子（2）若矩阵的标准形为其中为首1多项式，且则的级行列式因子为§8.3不变因子证：　与等价，完全相同，则这个级子式为零.在中，若一个级子式包含的行、列指标不与　　有相同的秩与行列式因子.级子式所以只需考虑由行与列组成的即§8.3不变因子而这种级子式的最大公因式为所以，的级行列式因子§8.3不变因子证：设矩阵的标准形为（3）（定理4）矩阵的标准形是唯一的.其中为首1多项式，且§8.3不变因子于是即　　　　　　　由的行列式因子所唯一确定.

4、由（2），的级行列式因子为所以的标准形唯一.§8.3不变因子（4）秩为的矩阵的个行列式因子满足：§8.3不变因子1、定义二、不变因子矩阵的标准形称为的不变因子（invariantdivisor）.的主对角线上的非零元素§8.3不变因子（1）（定理5）矩阵、等价、　有相同的不变因子.2、有关结论、　有相同的行列式因子.§8.3不变因子有相同的标准形，证：必要性显然.只证充分性.所以与等价.若与有相同的行列式因子，则与也有相同的不变因子，从而与§8.3不变因子则，为一非零常数.的第n个行列式因子证：若可逆，因子全部为1，的标准形为单位

5、矩阵，即与等价.（2）若的矩阵可逆，则的不变§8.3不变因子又的n个行列式因子满足:从而不变因子所以，的标准形为§8.3不变因子注意可逆与等价.§8.3不变因子矩阵的乘积.（3）（定理6）可逆可表成一些初等证：可逆与等价存在初等矩阵使§8.3不变因子存在一个可逆矩阵与一个可逆推论两个的矩阵、等价矩阵，使§8.3不变因子例1求矩阵的不变因子解：的非零1级子式为:§8.3不变因子的非零2级子式为:§8.3不变因子又所以，的不变因子为：§8.3不变因子解：§8.3不变因子又而的不变因子为§8.3不变因子练习求的不变因子答案: