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1、8图形的位似我是“联想”总裁你还记得图形不同的变换及其性质吗：平移:平移的方向,平移的距离.旋转:旋转中心,旋转方向,旋转角度.全等.相似:相似比.对称(轴对称与轴对称图形,中心对称与中心对称图形);对称轴,对称中心.图形这些不同的变换是我们学习几何必不可少的重要工具,它不但装点了我们的生活,而且是学习后续知识的基础.回顾与反思☞下面请欣赏如下图形的变换相似图形的特例你发现了什么(参照P135图4-27)?下面的一组图片是形状相同的图形,在图片①上取一点A,它与另一图片(如图片②)上的相应点B之间的连线是否经过镜头P的中心?在图片上换其它的点试一试,还有类似的结
2、论吗?探索与思考☞如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形(homotheticfigures),这个点叫做位似中心(homotheticcenter),这时的相似比又称为位似比(homotheticratio).①PA②③④⑤BCDEF培养逆向思维在下图中,(1),(3)中的两个图形是位似图形,(2)中的两个图形不是位似图形.分别指出图(1),(3)各自的位似中心;在图(1)中任取一对对应点,度量这两个点到位似中心的距离,它们的比与位似比有什么关系?在图(3)中再试一试,还有类似的规律吗?位似图形上的任意一
3、对对应点到位似中心的距离之比等于位似比OP(1)(3)(2)灵感智慧“联想”的功能你还记得本章第三节<做一做>用橡皮筋放大图形的方法吗?实际上,使用这种方法,放大前后的两个图形是位似图形.你能用这种方法将一个已知的多边形放大,使放大后的图形与原来图形的位似比分别是3和4吗?是金子总会发光,第一个“夺冠”的会是你吗?开启智慧益智的“机会”按如下方法可以将△ABC的三边缩小为原来的1/2:知识源于悟OABC如图,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F;△DEF的三边就是△ABC相应三边的1/2.实际上△ABC与△DEF是位似图形.实践出真知,一起
4、来动手:任意画一个三角形,用上面的方法亲自试一试.DEF●●●实践的“享受”(1)如果在射线OA,OB,OC上分别取D,E,F,使DO=2OA,EO=2OB,FO=2OC,那么,结果又会怎样?能力的源泉(2)如果在射线AO,BO,CO上分别取点D,E,F呢?结果会得到一个与△ABC全等的△DEF,且△DEF的三边与△ABC三边相等.即它们的位似比是1∶1.DEFAOBCDEFAOBC结果会得到一个放大了的△DEF,且△DEF的三边是△ABC三边的2倍.即它们的位似比是2∶1.例题欣赏如图所示,作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比是2∶1.思考分析ABGC
5、EDF●P在原图上取几个关键点A,B,C,D,E,F,G;图外任取一点P;作射线AP,BP,CP,DP,EP,FP,GP;在这些射线上依次取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PC′=2PC,PE′=2PE,PF′=2PF,PG′=2PG;B′A′C′D′E′F′G′顺次连接点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′,所得到的图形(向下的箭头)就是符合要求的图形;实际上,新图形与原图形是位似图形,位似比是2∶1.想一想,做一做☞亲历知识的发生和发展如果在上面的例题,你还有其它方法吗?如果依
6、次在射线上PA,PB,PC,PD,PE,PF,PG上取点A′,B′,C′,D′,E′,F′,G′呢?结果是一个向上的箭头.新图形与原图形是位似图形,位似比是2∶1A′A′B′C′D′E′F′G′ABGCEDF●P梦想成真下面的说法对吗?为什么?分别在△ABC的边AB,AC上取点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形;分别在△ABC的边AB,AC的延长线上取点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC放大后的图形;分别在△ABC的边AB,AC的反向延长线上取点D,E,使DE∥BC,那么△ADE是△ABC缩小后的图形;想一想P140ABCDEAD
7、EBCEDCBA(正确)(正确)(错误)随堂练习☞敢问“路”在何方△ABC的顶点坐标分别是A(2,2),B(4,2),C(6,4),试将△ABC缩小,使缩小后的△DEF与△ABC对应边的比为1∶2.(1).四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2周长的比是多少?(2).连接相应的对角线A1C1,A2C2所得的△A1B1C1与△A2B2C2相似吗?△A1C1D1与△A2C2D2呢?如果相似,它们的相似比各是多少?回味无穷位似多边形:如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形(homotheticfigure
8、s),这个点叫做位似中心
