一元三次方程的解法.doc

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1、一元三次方程的解法先把方程化为的形式：令，则原式变成如此一来二次项就不見了，化成，其中，。---------------------------对方程直接利用卡尔丹诺公式：其中。是根的判别式：Δ＞0时，有一个实根两个虚根；Δ＝0时，有三个实根，且其中至少有两个根相等；Δ＜0时，有三不等实根。附：方程　（2）求根公式的推导过程：不妨设p、q均不为零，令（3）代入（2）得，（4）选择u、v，使得，即（5）代入（4）得，（6）将（5）式两边立方得，（7）联立（6）、（7）两式，得关于、的方程组：于是问题归结于求上述方程组的解，即关于t的一元二次方程的两根、。设，，，又记的一

2、个立方根为，则另两个立方根为，，其中、为1的两个立方虚根。以下分三种情形讨论：1）若，即，则、均为实数，可求得，。取，，在，组成的九个数中，有且只有下面三组满足，即、；、；、，也就是满足，于是方程（2）的根为，，，这时方程（2）有一个实根，两个共轭虚根，，其表达式就是前面给出的“卡丹公式”的形式，这里的根式及都是在实数意义下的。2）若，即D＝0时，可求得。取，同理，可求得方程（2）有三个实根，其中至少有两个相等的实根。·3）若，即D＜0时，因为，p＜0，，则、均为虚数，求出、，并用三角式表示，就有，，其中T，都是实数，Q∴同理，其中，且取，，则显然，当且仅当取，；，

3、；，这三组时才满足，于是方程（2）得三个实根为，，，具体表示出来就为：其中∴当时，方程（2）有三个实根。综上所述，实系数一元三次方程的求根公式如下：令，，，，1）当时，方程有一个实根和两个共轭虚根，2）当时，方程有三个实根，其中至少有两个相等的实根，，，3）当时，方程有三个实根，，