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1、相似三角形中的动点问题1.如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动
2、．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．3.如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P
3、，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．4.如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？45．已知△ABC中AB=AC=6，COSB=1/3，点D在AB上（点D不与A,B重合），过D作DE‖AC交BC于点E，过点E作EF⊥AC，设BD=x，CF=y（1）求y关于x的函数关系式；（2）连接DF，如果△DEF和△CEF相似，求BD长．思维体
4、操：6.如图，在△ABC中，D是BC上一点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ACE．（1）求证：AC＝BC·CD；（2）若E是△ABC的重心，求．答案：1.答案：解（1）由题意：AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，当PQ∥BC时，，即：解得：（2）能，AP=cm或AP=20cm①△APQ∽△CBQ，则，即解得：或（舍）此时：AP=cm②△APQ∽△CQB，则，即解得：（符合题意）此时：AP=cm故AP=cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．2.答案：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4∴AB=5又∵AD=AB，AD=5t∴t=
5、1，此时CE=3，∴DE=3+3-5=1（2）如图当点D在点E左侧，即：0≦t≦时，DE=3t+3-5t=3-2t．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：①△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；②△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=；如图，当点D在点E右侧，即：t>时，DE=5t-(3t+3)=2t-3．若△DEG与△ACB相似，有两种情况：③△DEG∽△ACB，此时，即：，求得：t=；④△DEG∽△BCA，此时，即：，求得：t=．综上，t的值为或或或．3.答案：在Rt△ABC中,AB=6米,BC=8米,∴AC=10米由题意得：AP=2t
6、，则CQ=t，则PC=10−2t.(1)图1中，作PD⊥BC于D，∵t=2.5秒时，AP=2×2.5=5米，QC=2.5米，∴PA=PC，∵∠PDC=∠B=90∘，∴PD∥AB，∴PD=12AB=3米,∴S=12⋅QC⋅PD=3.75平方米；(2)图1中，作QE⊥PC于点E，∴∠C=∠C,∠QEC=∠B=90∘∴Rt△QEC∽Rt△ABC，∴QEQC=ABAC，解得：QE=35t，∴S=12⋅PC⋅QE=12⋅(10−2t)⋅3/5t=−3/5t2+3t(07、时,PC=10−2t,QC=t,即10−2t=t,解得t=10/3秒；当PQ=CQ时,如图1,过点Q作QE⊥AC,则CE=10−2t2=5−t，CQ=t，由△CEQ∽△CBA,得CEBC=QCAC,即5−t8=t10,解得t=25/9秒；当PC=PQ时,如图2,过点P作PE⊥BC,则CE=t2，PC=10−2t，由△PCE∽△ACB,故得CEBC=PCAC,即t28=10−2t10,解得t=80/21秒所以当t=10/3秒(此时PC=QC),25/9秒(此时PQ=QC),或80/21秒(此时PQ=PC)4.答案：解：（1）证明：∵AD=CD∴∠A=∠
8、ACD∵DE平分CDB交边BC于点E∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB为△CDB的一个外角∴∠CDB=∠A+∠A
