固体物理一维单原子链ppt课件.ppt

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1、4.2一维单原子链晶格具有周期性，晶格的振动具有波的形式——格波格波的研究——先计算原子之间的相互作用力——根据牛顿定律写出原子运动方程，最后求解方程一维无限原子链——每个原子质量m，平衡时原子间距a——原子之间的作用力第n个原子离开平衡位置的位移第n个原子和第n＋1个原子间的相对位移第n个原子和第n＋1个原子间的距离平衡位置时，两个原子间的互作用势能发生相对位移后，相互作用势能——常数简谐近似——振动很微弱，势能展式中只保留到二阶项相邻原子间的作用力——平衡条件原子的运动方程——只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用

2、力第n个原子的运动方程——每一个原子运动方程类似——方程的数目和原子数相同方程解和振动频率设方程组的解naq—第n个原子振动位相因子得到格波的波速——波长的函数——一维简单晶格中格波的色散关系，即振动频谱格波的意义连续介质波波数——格波和连续介质波具有完全类似的形式——一个格波表示的是所有原子同时做频率为的振动格波方程——格波的波形图——简谐近似下，格波是简谐平面波——向上的箭头代表原子沿X轴向右振动——向下的箭头代表原子沿X轴向左振动格波波长格波波矢格波相速度不同原子间位相差格波方程相邻原子的位相差波矢的取值和布里渊区

3、格波相邻原子位相差——原子的振动状态相同格波2(Green)波矢格波1(Red)波矢相邻原子位相差相邻原子的位相差——两种波矢的格波中，原子的振动完全相同波矢的取值相邻原子的位相差——第一布里渊区——只研究清楚第一布里渊区的晶格振动问题——其它区域不能提供新的物理内容玻恩－卡门（Born-Karman）周期性边界条件:q的取值!——一维单原子晶格看作无限长，所有原子是等价的，每个原子的振动形式都一样——实际的晶体为有限，形成的链不是无穷长，链两头的原子不能用中间原子的运动方程来描述N个原子头尾相接形成一个环链，保持了所有原

4、子等价的特点处理问题时要考虑到环链的循环性N很大，原子运动近似为直线运动设第n个原子的位移再增加N个原子之后，第N+n个原子的位移则有要求——h为整数波矢的取值范围h—N个整数值，波矢q——取N个不同的分立值——第一布里渊区包含N个状态每个波矢在第一布里渊区占的线度第一布里渊区的线度第一布里渊区状态数波矢格波的色散关系频率是波数的偶函数色散关系曲线具有周期性——q空间的周期频率极小值频率极大值只有频率在之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减——一维单原子晶格看作成低通滤波器色散关系讨论:A)格波传播频率和速度

5、:当——一维单原子格波的色散关系与连续介质中弹性波的色散关系一致1)格波——长波极限情况:连续介质的伸长弹性模量连续介质介质密度——一个波长内包含许多原子，晶格看作是连续介质B)长波极限下,相邻两个原子之间的位相差2)格波——短波极限情况:物理意义:1)相邻两个原子振动的位相相反;2)此时格波形成驻波;B)相邻两个原子之间的位相差:π=A)格波传播频率和速度:3)布里渊区!&原子位移和简正坐标的关系:第q个格波引起第n个原子位移第n个原子总的位移令原子坐标和简正坐标的线性变换——线性变换为么正变换则:Q简正坐标:动能和势能

6、的形式都有平方和的形式.——N项独立的模式，具有正交性原子位移为实数,则:……(2)——正交性……(1)……(1)证明1):原子位移为实数,则:同时可写为:……(2)证明2):A)当q=q`时:(2)显然成立.B)当q-q`=s时证明完毕.下面证明:动能和势能的形式都有平方和的形式.动能的正则坐标表示:……(2)……(1)动能具有平方和的形式.势能将代入得到哈密顿量——系统复数形式的简正坐标系统势能实数形式的简正坐标令哈密顿量能量本征值声子——晶格振动的能量量子；或格波的能量量子一个格波是一种振动模，称为一种声子，能量为当

7、这种振动模处于时，说明有个声子本征态函数——由N个原子组成的一维单原子链,其振动模式为N个相互独立的(正交)格波,格波的振幅对应着简正坐标,一个简正坐标对应一个谐振子方程，波函数是以简正坐标为宗量的谐振子波函数,振动能级是量子化的.1)声子是晶格振动的能量量子声子的概念：2)一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原子组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子,nj：声子数晶体中所有原子共同参与的同一频率的简谐振动称为一种振动模式能量本征值：3)当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以为单元交换能量;5)声子的作

8、用过程遵从能量守恒和准动守恒6)由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动的总能量为：4)声子具有能量，也具有准动量，但声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子,只是一种准粒子4.3一维双原子链声学波和光学波一维复式格子的情形——一维无限长链——两种原子m