固体物理第8课一维双原子链

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1、3.2一维双原子链的振动(一维复式格子的振动)3.2.1运动方程及色散关系表示所有原子均以频率ω振动，波矢为q。色散曲线周期性边界条件N个原胞，2N个原子3.2.3声学波和光学波(1)声学波长声学波可看成是在连续介质中传播的弹性波。此时长声学波描述了原胞质心的运动,即晶体的平动.长声学波除热激发外，还可以用超声波激发。应用：超声波点焊机，集成电路。图超声波点焊机同一原胞内的两个原子以相反的位相、不同的振幅振动，而原胞的质心保持不动。所以长光学波描述了原胞中原子相对质心的运动。(2)光学波返回返回光学波可用光波的电磁场激发，

2、即称为光学波。3.晶格振动的一般结论*一维单原子链N(1)一维双原子链N(2)三维晶体N(n)波矢数NNN模式数N2N3nN格波支数1(声)21:声1:光3n3:声3(n-1):光(1)晶格振动的波矢数＝晶体中的原胞数(2)晶格振动的模式数＝晶体中原子的自由度数(3)晶格振动的格波支数＝晶体原胞的自由度数自由度：描述物体的空间位置所需的独立坐标数自由度=m×n×N返回4三维晶格振动示意图硅晶体的倒易原胞硅晶体（FCC）的原胞中含两个原子，故n=2，倒易点阵为体心立方，其维格纳-塞茨原胞（布喇菲原胞）6个正方形的面中心对应

3、于倒易点阵的6个<001>矢量，8个正六边形的面对应于倒易空间的8个<111>矢量。硅晶体晶格振动的色散（复式面心立方）2支横声学波2支横光学波各自发生了简并纵声学波纵光学波重合5.三维晶格振动模型Nl：原胞数，na:原胞中原子数，Mm：原子质量波的数学形式可以表示为波动函数晶格振动模型可以看作是三维的弹簧模型，第l个原胞中的第m个原子的位置记为此原子的平衡位置记为其中是原胞顶点的格矢量，是原胞内某个原子的中心与原胞顶点的距离。这个原子离开平衡位置的位移记作：晶格谐振理论原子的平衡位置在对应的晶格格点上。位移与原子间距比是

4、小量，可以用简谐近似。平衡位置由原子结合势决定，两个原子之间的结合势可用对势函数表示一对原子产间的净相互作用力，正比于原子间距一对理想晶格格点之间的偏移：三维晶格振动系统中每个原子的波函数为：这个晶格振动的波动函数只在分立的格点R0处有值。其中k为波矢量，即波传播的方向。在三维情况下，每个允许的波长，都有两个横波和一个纵波。横波的速度相同，纵波的速度大于横波，是由于纵向弹性系数大于横向弹性系数。上式中j,k是晶格平面波解的参数，其中j代表3na支具有不同频率j(k)的晶格振动波。。当波矢K在FBZ中取值时，每个K对应3n

5、a振动模式，故格波分为3na支，每一支有自己的色散关系，它们分为3na–3只光学支和3只声学支，其中声学支的特点是在FBZ的中心，谐振频率为零，即ω（q=0）=0。根据玻恩卡门条件，三维晶体中的波矢：la为整数，La为三个方向上的原胞数。当k变动时为倒易空间中任意矢量波矢k在FBZ中取值，共有NL种取值，等于原胞数。总简正模式数是3naNL。长声学波（q0）反映了原胞的整体振动，长光学波反映了原胞内各原子之间的相对振动。一般情况下，原子的振动方向既不平行，也不垂直于q（格波前进方向），只在一些特殊方向（通常是布里渊区的对

6、称轴方向）格波才可以分解成两个频率简并的横波（振动方向与格波行进方向垂直）和一个纵波（振动方向与格波行进方向垂直）。如果晶体是简单晶格（原胞只含一个原子），则只有3支声学波，而无光学波。由于晶体的对称性，如ω（q）=ω(-q)，只要计算FBZ中的一部分就可得到全部的ω。说明晶格的振动是简谐波，其波长由q确定，而q又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。故q的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着格波波长为na/l，na代表了某方向的晶体的长度L，且格波与晶面垂直。可见晶体

7、边长是格波的l倍，这里采用了波恩-卡门周期性边界条件。驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。作业：1.P83页3.4(1)(2)2.试根据声学波计算公式，当q0时，粗略计算NaCl中的纵波声速，其中a=2.81Ǻ，32N/m，Na的原子的序数是23，Cl的原子序数是35，质子的质量是1.67×10-27kg。