圆锥曲线的综合问题_教（学）案.doc

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1、......第三讲　圆锥曲线的综合问题1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个

2、交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长

3、P1P2

4、＝

5、x2－x1

6、或

7、P1P2

8、＝

9、y2－y1

10、，其中求

11、x2－x1

12、

13、与

14、y2－y1

15、时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

16、x2－x1

17、＝，

18、y2－y1

19、＝.②当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．3．圆锥曲线中的最值(1)椭圆中的最值F1、F2为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有.专业资料.......①

20、OP

21、∈[b，a]．②

22、PF1

23、∈[a－c，a＋c]．③

24、PF1

25、·

26、PF2

27、∈[b2，a2]．④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2

28、)双曲线中的最值F1、F2为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有①

29、OP

30、≥a.②

31、PF1

32、≥c－a.(3)抛物线中的最值点P为抛物线y2＝2px(p＞0)上的任一点，F为焦点，则有：①

33、PF

34、≥.②A(m，n)为一定点，则

35、PA

36、＋

37、PF

38、有最小值．1．(2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案　D解析　设A(x1，y1)、B(x2

39、，y2)，所以运用点差法，所以直线AB的斜率为k＝，设直线方程为y＝(x－3)，联立直线与椭圆的方程得(a2＋b2)x2－6b2x＋9b2－a4＝0，所以x1＋x2＝＝2；又因为a2－b2＝9，解得b2＝9，a2＝18.2．(2013·江西)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　).专业资料.......A.B．－C．±D．－答案　B解析　∵S△AOB＝

40、OA

41、

42、OB

43、sin∠AOB＝sin∠AOB≤.当∠AOB＝时，S△AOB面积最大．此时O到AB的距离d＝.设AB方

44、程为y＝k(x－)(k<0)，即kx－y－k＝0.由d＝＝得k＝－.(也可k＝－tan∠OPH＝－)．3．(2013·大纲全国)椭圆C：＋＝1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)A．[，]B．[，]C．[，1]D．[，1]答案　B解析　利用直线PA2斜率的取值范围确定点P变化范围的边界点，再利用斜率公式计算直线PA1斜率的边界值．由题意可得A1(－2,0)，A2(2,0)，当PA2的斜率为－2时，直线PA2的方程式为y＝－2(x－2)，代入椭圆方程，消去y化

45、简得19x2－64x＋52＝0，解得x＝2或x＝.由点P在椭圆上得点P，此时直线PA1的斜率k＝.同理，当直线PA2的斜率为－1时，直线PA2方程为y＝－(x－2)，代入椭圆方程，消去y化简得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝.由点P在椭圆上得点P，.专业资料.......此时直线PA1的斜率k＝.数形结合可知，直线PA1斜率的取值范围是.4．(2012·四川)椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于点A、B，当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是________．答案　3解析　直线x＝m过右焦点(1,0)时，△FAB的周长最大

46、，由椭圆定义知，其周长为4a＝8，此时，

47、AB

48、＝2×＝＝3，∴S△FAB＝×2×3＝3.5．(2012·北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点