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1、第十二章动量矩定理1§12-1质点和质点系的动量矩1．质点的动量矩对点O的动量矩对z轴的动量矩代数量,从z轴正向看,逆时针为正,顺时针为负.2单位:kg·m2/s2．质点系的动量矩对点的动量矩对轴的动量矩即3（1）刚体平移.可将全部质量集中于质心,作为一个质点来计算.,（2）刚体绕定轴转动转动惯量4§12-2动量矩定理1．质点的动量矩定理设O为定点,有其中:（O为定点）5投影式:因此称为质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.6得称为质点系的动量矩定理:质点系对某定点O的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对于同一点的
2、矩的矢量和.2.质点系的动量矩定理由于7投影式:内力不能改变质点系的动量矩.8例12-1已知：,小车不计摩擦.求:小车的加速度.解:由,，得9例12-2：已知,,,,,,不计摩擦.求:（1）（2）O处约束力（3）绳索张力，10由,得解：(1)（2）由质心运动定理11（3）研究（4）研究123．动量矩守恒定律若,若,则常量。例：面积速度定理有心力：力作用线始终通过某固定点,该点称力心.由于,有常矢量则常矢量；13即常量由图,因此,常量（1）与必在一固定平面内,即点M的运动轨迹是平面曲线.称面积速度.面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.14求：剪断绳后,角
3、时的.例12-4：两小球质量皆为,初始角速度15时,时,由,得解：16§12-3刚体绕定轴的转动微分方程主动力:约束力:即:或或转动微分方程17例12-5:已知:，求.解:18求微小摆动的周期.例12-6：物理摆（复摆），已知，19解：微小摆动时，即：通解为称角振幅，称初相位，由初始条件确定.周期20求：制动所需时间.例12-7：已知：，动滑动摩擦系数，21解：22例12-8：已知求：.解：因，，得23§12-4刚体对轴的转动惯量单位：kg·m21.简单形状物体的转动惯量计算(1)均质细直杆对一端的转动惯量由，得24（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量（3）均质圆板
4、对中心轴的转动惯量式中：或252.回转半径（惯性半径）或3．平行轴定理式中轴为过质心且与轴平行的轴，为与轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.26证明：因为有，得27例12-9：均质细直杆，已知.求：对过质心且垂直于杆的轴的转动惯量。要求记住三个转动惯量（1）均质圆盘对盘心轴的转动惯量（2）均质细直杆对一端的转动惯量（3）均质细直杆对中心轴的转动惯量则对一端的轴，有解：284．组合法求：.例12-10：已知杆长为质量为，圆盘半径为，质量为.29解：30解：其中由，得例12-
5、11：已知：，求.315．实验法例：求对轴的转动惯量.将曲柄悬挂在轴O上，作微幅摆动.由其中已知,可测得，从而求得.解：326.查表法均质物体的转动惯量薄壁圆筒细直杆体积惯性半径转动惯量简图物体的形状33薄壁空心球空心圆柱圆柱34圆环圆锥体实心球35矩形薄板长方体椭圆形薄板36§12-5质点系相对于质心的动量矩定理1．对质心的动量矩有由于得其中37即：无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于质心的动量矩其结果相同.对任一点O的动量矩：382相对质心的动量矩定理由于即39质点系相对于质心的动量矩定理:质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质
6、心的主矩.得或40或§12-6刚体的平面运动微分方程41以上各组均称为刚体平面运动微分方程.应用时一般用投影式：42例12-12半径为r，质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示.设轮的惯性半径为，作用于轮的力偶矩为M.求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f，问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动?43解：其中得纯滚动的条件：即44例12-13均质圆轮半径为r质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动.求:质心C的运动规律.45由于解:46其解为式中运动方程为得得由时47
