数学归纳法教案.docx

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1、§2.3.1数学归纳法教案一、教情分析数学归纳法作为直接证明的一种特殊方法，主要用于证明与正整数有关的数学命题。人教课标版教科书把数学归纳法安排在选修2-2第二章推理与证明中，教学时间为2课时，本教案为数学归纳法的第一节课。在此之前，学生已经通过数列一章内容和推理与证明内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法，知道不完全归纳法是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论的归纳推理是合情推理，而由合情推理得出的结论未必正确。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习

2、严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要载体，也是培养学生严密的推理能力及抽象思维能力的好素材。二、教学目标1.知识与技能目标（1）了解不完全归纳法属于合情推理，而由合情推理得出的一般结论未必正确。（2）能以递推思想为指导，理解数学归纳的原理与实质．（3）掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与整数有关的命题．2.过程与方法目标（1）通过对数学归纳法的学习，让学生经历知识的构建过程——发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推

3、理能力。（2）借助“多米诺骨牌”让学生体会类比的思想。（3）感受从有限思维发展到无限思维的思考过程。3.情感态度价值观（1）利用多米诺骨牌，努力创设课堂愉悦情境，提高学生学习的兴趣和课堂效率。（2）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。三、教学重难点1.重点理解数学归纳法的原理，明确用数学归纳法证明命题的两个步骤，初步会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的数学恒等式。2.难点对数学归纳法原理的理解，即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。四、教学手段与方法多媒体辅助，采用情境教学法、类比教学

4、法、自主探究、合作交流的教学模式，问题探究和启发式相结合的教学方法。五、教学过程1、创设问题情境（1）法国数学家费马观察到：都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如（n∈）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数不是质数,从而推翻了费马的猜想。这告诉我们，由合情推理所获得的结论不一定可靠。（2）提出数学问题数列，已知，，通过对1,2,3,4前四项的归纳，我们能否猜想出通项公式？设计意图：借助数学史料，引导学生体会归纳法，并回顾之前学习，了解不完全归纳法的局限性，同时肯定它的价值和意义。提出问题，培

5、养学生大胆猜想的意识和数学概括能力．概括能力是思维能力的核心．鲁宾斯坦指出：思维都是在概括中完成的．心理学认为“迁移就是概括”，我所找的突破口就是学生的概括过程。刚才我们从有限项归纳猜想得到的通项公式一定是正确的吗？怎么去验证？正整数有无限多个，不可能一一验证，那么该如何证明这类有关正整数的命题呢？我们要寻求一种方法：通过有限步骤推理，证明取所有正整数都成立。引出数学归纳法。设计意图：怎么验证不完全归纳法所得结论，构造悬念，激发学生探究问题的欲望，问题层层递进，为学生营造探究的课堂氛围。特点是师生互动，学生能积极参与。（3）演示多米诺骨牌

6、游戏，分解过程，引导学生思考：多米诺骨牌全部倒下要满足什么条件设计意图：展示多米诺骨牌游戏，活跃课堂氛围，激发学生的兴趣。这里从生活中多米诺骨牌引入，使抽象的原理寓于简单的事例当中，通俗易懂，让学生观察多米诺骨牌倒下过程，将抽象的数学找到现实的固着点，形象化的展示，通过探讨骨牌全部倒下的条件，初步尝试，感性认识，为类比得出数学归纳法做铺垫。2、类比探究你认为证明数列的通项公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？设计意图：把问题作为教学的出发点，引导学生学会类比，激起学生探究热情，让学生将生活例子回

7、归理性，帮助学生积极思考，主动构建新知识。类比“多米诺骨牌”的原理来验证情境1中对于通项公式猜想，设想将全部正整数由小到大依次排列为无限长一队，将多米诺骨牌原理中的第一块骨牌倒下对应于验证猜想成立，第块倒下，使第块倒下对应于当时猜想成立，即，那么能推出时等式也成立，那么，这样，对于猜想，时等式成立时等式成立时等式成立……所以取任何正整数猜想都成立，即数列的通项公式是设计意图：使学生经历一次数学研究与发现的完整过程，并进一步熟悉数学归纳法。3、概念新知上面这种证明方法叫做数学归纳法，数学归纳法一般被用于证明与正整数有关的数学命题，下面请同学

8、们总结一下用数学归纳法证题的步骤。学生交流后，共同总结：（1）证明当取第一个值（例如或2等）时结论正确；（2）假设当（，且）时结论正确，证明当时结论也正确。根据（1）和（2），可知命题对从开始