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1、《微分几何》复习题一、填空题1.设曲线的切向量为,则=（）.2.曲线在原点的曲率为（）.3.空间曲线在一点的近似曲线在法平面上的投影是（）..4.曲面为平面的充要条件为().5.曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的().6.在不可展的直纹曲面上的每一点都是（）.7.曲面(是曲纹坐标)的坐标网是（）.二、单项选择题1.曲线在点（1,0,0）向量为【】ABCD2．向量函数平行于固定平面的充要条件是【】.ABCD3.单位向量函数关于的旋转速度等于【】ABCD4.曲面在点的切平面方程为【】ABCD5.曲面的第二基本形式为II=，则曲面上
2、的曲线：的共轭曲线族为【】ABCD6.曲面非脐点处的两个主方向之间夹角为【】ABCD7.在曲面上下列量中不是等距变换不变量的是【】A曲线的曲率B曲线的弧长C两曲线的交角D曲面域的面积8.下列曲面中高斯曲面不恒为零的是【】A柱面B极小曲面C锥面D曲线的切线曲面得分评卷人复查人三、计算题1.求圆柱螺线在处的密切平面，法平面和从切平面方程.2.求曲线在原点的挠率.3.求圆环面上的抛物点的轨迹方程..4.求曲面在原点的主曲率，高斯曲率，平均曲率.5.设一个曲面的第一基本形式为，求它上面两条曲线与的交角.得分评卷人复查人四、证明题1.如果曲线为
3、一般螺线，为的切向量和主法向量，为的曲率半径，证明曲线是一般螺线.2.证明球面上的在任意点沿任意方向的法曲率为常数..《微分几何》参考答案一、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1.2.13.半立方抛物线4.5.法方向6.双曲点7.共轭网二、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1C2A3B4C5D6D7A8B三、计算题1解:,,,,,,,所求的密切平面，法平面和从切平面方程分别为,,.2解：因为,所以,,,点（0,0,0）对应的,,,.
4、所以已知曲线在点（0,0,0）的挠率为.3解：因为,所以,,,.,,,.因为,,所以,当,有,当或时为抛物点,已知曲面上的抛物点轨迹方程为.4解:,,,曲面在原点有,,,,,,曲面在原点有.由,得曲面在原点的主曲率，高斯曲率，平均曲率分别为,,.5解:因为,所以.曲线的切方向为,曲线的切方向为,及它们的交点为(0,0).由得,.四、证明题1证明:,上式两边对求导,,因为曲线为一般螺线,所以存在向量:=常数所以==常数.即曲线为一般螺线.2证明:设球面方程为,,I=,,II=,所以球面上的在任意点沿任意方向的法曲率为=常数.
