必修四平面向量基本定理(附答案).doc

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1、平面向量基本定理[学习目标]　1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识点一　平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．思考　如图所示，e1，e2是两个不共线的向量，试用e1，e2表示向量，，，，，a.答案　通过观察，可得：＝2e1＋3e2，＝－e1＋4e2，

2、＝4e1－4e2，＝－2e1＋5e2，＝2e1－5e2，a＝－2e1.知识点二　两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个非零向量a和b，如图，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)，叫做向量a与b的夹角．①范围：向量a与b的夹角的范围是[0°，180°]．②当θ＝0°时，a与b同向．③当θ＝180°时，a与b反向．(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.思考　在等边三角形ABC中，试写出下面向量的夹角．①、；②、；③、；④、.答案　①与的夹角为60°；②与的夹角为120°；③与的夹角为60°；④与的夹角为180°.题型一　对向量的基底认识例

3、1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________．①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.答案　②③解析　由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．对于③，当两向量的系数均为

4、零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．跟踪训练1　设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号)答案　①②④解析　对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．题型二　用基底表示向量例2　如图所示，已知▱ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a、b为基底表示、.解　∵四边形ABC

5、D是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，∴＝＝2，＝＝2，∴＝＝b，＝＝－＝－a.∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，＝＋＝＋＝b－a.跟踪训练2　如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、.解　＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b；＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.题型三　向量夹角问题例3　已知

6、a

7、＝

8、b

9、＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.解　如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作▱OACB，则＝a＋b，＝

10、－＝a－b，＝＝a.因为

11、a

12、＝

13、b

14、＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角β＝60°.因为

15、a

16、＝

17、b

18、，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b与a的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.跟踪训练3　若a≠0，b≠0，且

19、a

20、＝

21、b

22、＝

23、a－b

24、，求a与a＋b的夹角．解　由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵

25、a

26、＝

27、b

28、＝

29、a－b

30、，∴∠BOA＝60°.又∵＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角是30

31、°.题型四　平面向量基本定理的应用例4　如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求.解　＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋b，因为与共线，故可设＝t＝a＋b.又与共线，可设＝s，＝＋s＝＋s(－)＝(1－s)a＋sb，所以解得所以＝a＋b.跟踪训练4　如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.解　易得＝＝b，＝＝a，由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足＝m＋(