经济数学(函数习题及答案).doc

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1、第一章函数 习题 1－1 1．下列各组函数是否相同？为什么？                                                                                     (1)f()=与与                                                                                                                         (4)      解(1)因为对∈(-∞,+∞),都有定义,且所以两个函数相同.(2)因为两个函数的

2、对应规则不同,所以两个函数不同.(3)因为函数的定义域为而函数的定义域为所以由D1≠D2知,两个函数为不相同的函数.(4)两个函数的对应关系相同，定义域相同，故两个函数相同.2．求下列函数的定义域:    解（1）由偶次根式的定义可知,应满足关系式 22故函数的定义域为 .(2）由关系式 解得.故函数的定义域为.(3)要使该函数有意义,应满足关系式 解得.故函数的定义域为D()=. （4）因为分段函数的定义域为各分段函数定义域之并集，故 D()=(-∞,0)∪[0,2]∪(2,+∞)=(-∞,+∞).解当=0时,.当=2时,.当=-t时,,所以 .当时,,所以.当=(t≠0)时,,所

3、以.当时, .当时,,所以.故        .224．求下列函数的值.     (1) (2)，求解(1)当=0时,f(0)=1.当1+a<1时,即a<0时,.当1+a>1,即a<0时,即       当=-1.5<1时,有`.(2)因为，所以5.求函数的定义域:(1)若的定义域是[-4，4]，求的定义域;                        (2)若的定义域是[0，3a](a>0)，求的定义域;(3)若的定义域是[0，1]，求的定义域;(4)若的定义域是[-1，1],求的定义域.解(1)因为中的满足 -4≤≤4所以中的必须满足,即.故函数的定义域是[-2,2].(2)欲

4、使函数有定义,须且只需使和同时有定义,于是 22即     a≤≤2a.故函数的定义域为[a,2a].(3)因为中的 ,必须满足,即1≤≤10.故函数的定义域为[1,10].(4)由的定义域为[-1，1],得-1≤≤1即      0≤≤2故函数的定义域为[0,2].6.设函数对一切正数都满足方程=+.试证下列各式： （1）                （2）（3）证(1)在已知方程中,令=1,=1,得即   .(2)在已知方程中,令,则即         .(3)在已知等式中,不变,而将y用代换,得将(2)式代入上式,得.227.当为何值时的定义域是(-∞，+∞).解当时,,此时

5、函数的定义域为(-∞，+∞).  当时,只要,即,也就是0

6、有所以该函数为奇函数.（3）因为对于（-∞，0）∪（0，+∞）,均有所以该函数为偶函数.（4）因为当>0,即时，有,而当≤0,即-≥0时，有,于是所以该函数为偶函数.（5）因为（-∞，0）∪（0，+∞），均有所以该函数为偶函数.(6)因为（-∞,+∞）,均有所以该函数为奇函数.3.下列函数是否为周期函数，如果是周期函数，求其周期.（1）=

7、sin

8、(2)=cos解(1)令=,则

9、sin(+T)

10、=

11、sin

12、.而满足上式的T之最小正值为π.因此,22是以π为周期的周期函数.(2)设,则当=0时,由TcosT=0,得T1=;当=时,由.由于不满足,T均为唯一正值,即T随的变化而变,所以不

13、是周期函数.4.证明函数¦在上是单调增函数.证因为均有即故为单调增函数.5.为定义在（-1，1）上的奇函数，若在（0，1）内是单调增函数,证明在（-1，0）内也单调递增.证对于x1,x2（-1，0）,设1<2，由已知得,其中-1,-2（0，1）.则即故在（-1，0）内也单调递增.6*.证明不是周期函数.证因为D(¦)=[0,+∞),不是以原点为中心的对称集合,所以不是周期函数.7.证明函数在其定义域内是有界的.证因为22所以故由函数有界的定义知，函数在其定