割补转化法求几何体的体积.doc

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1、割补转化法求几何体的体积一.“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口,从而很方便地进行计算使问题得到顺利的解决,是处理空间图形中惯用的手段。通过对该方法的学习与探讨,使我们能正确地分析出几何中基本元素及其相互关系，能对图形进行分解、组合和变形，进一步提高空间想象能力和逻辑思维能力。5ABCPED方法5：如图，选取BC的中点D,连结AD、PD，则BC⊥AD且BC⊥PD∴BC⊥平面APD∴VP－ABC＝VB－APD＋VC－APD＝·S⊿APDD1DABB1CC1例2.如图的多面体

2、是过正四棱柱的底面ABCD的点A作载面AB1C1D1而截得的，且BB1=DD1.已知截面AB1C1D1与底面ABCD成30°的二面角，AB=1，则这个多面体的体积为（）A．B．C．D．例3．2003年全国卷（12）一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）BACD（A）（B）4（C）（D）分析：本题中没有立方体,可充分挖掘是正四面体特点补形成立方体.如图,将正四面体ABCD补成立方体,则正四面体、立方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体的棱长为,所以正方体棱长为1,从而外接球半径R=,得.选(A).5例4、如图:直三棱柱ABC—A1B

3、1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B—APQC的体积为A、B、C、D、例5.棱长为1的正方体容器ABCD－A1B1C1D1,在A1B、A1B1、B1C1的中点E、F、G处各开有一个小孔.若此容器可以任意放置,则装水最多的容积是（小孔面积对容积的影响忽略不计）A.B.C.D.例6、如图9-8-7，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，高为3，底面边长为2，D、E分别是AC、BC的中点，求四棱锥A－A1B1ED的体积．解：连A1E，则SS△ABC，故＝3····22·3＝．例7．（2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面A

4、EF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S1，S2，则必有（）A．S1S2C．S1=S2D．S1，S2的大小关系不能确定解：连OA、OB、OC、OD，则VA－BEFD＝VO－ABD＋VO－ABE＋VO－BEFD，VA－EFC＝VO－ADC＋VO－AEC＋VO－EFC又VA－BEFD＝VA－EFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故SABD＋SABE＋SBEFD＝SADC＋SAEC＋SEFC又面AEF公共，故选C

5、例8．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，若E、F分别为AB、AC的中点，平面EB1C15将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分，那么V1∶V2=_____。解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V1+V2＝Sh。∵E、F分别为AB、AC的中点，∴S△AEF=S,V1=h(S+S+)=Sh，V2=Sh-V1=Sh，∴V1∶V2=7∶5。例9．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB⊥AD，∠A1AB=∠A1AD=，这个平行六面体的体积为_____。正四面体ABCD的棱长为a，球O是内切球，球O1是与正四面体的三

6、个面和球O都相切的一个小球，求球O1的体积。（2）如图，设球O半径为R，球O1的半径为r，E为CD中点，球O与平面ACD、BCD切于点F、G，球O1与平面ACD切于点H由题设∵　△AOF∽△AEG∴　，得∵　△AO1H∽△AOF∴，得∴　思考题：1、(2008全国Ⅰ16）等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于．2、已知二面角α-l-β为，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）5(A)(B)2(C)(D)45