三要素法和复频域分析法计算线性暂态电路的比较.docx

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1、三要素法和复频域分析法计算线性暂态电路的比较一阶暂态电路中，三要素公式为ft=fpt+[f0+-fp(0+)]e-tτ(1)其中，f(t)为响应，f(0+)为初始值，τ为时间常数，fp(t)为特解（通常用强制分量作为特解）。欲求响应f(t)，只需求出初始值f(0+)，时间常数τ，特解fp(t)即可。且外加激励是直流或阶跃电源时，有fpt=fp0+=fp∞(2)此时三要素公式变为ft=f∞+[f0+-f(∞)]e-tτ(3)当用三要素公式求解一阶暂态电路的响应f(t)时，初始值f(0+)与特解fp(t)并不难求，关键是如何求出时间常数τ。时

2、间常数为τ=RC或τ=GL(4)故应将电路进行等效，求出等效电路的等效电阻后即可求出时间常数。下面我们通过一道例题来加深对三要素公式的理解:如图所示电路t<0时处于稳态。t=0时开关接通。求t>0时的电压uc和电流i解：由电路图求得：uc(0-)=30V由换路定律求得uc(0-)=uc(0+)=30V当t→∞所示，列节点电压方程：（）uc(∞)=2A+得:uc(∞)=50V将两个独立源置零，再计算等效电得：R==20时间常数τ=RC=200.5F=10s将uc(∞)，uc(0+)和τ带入三要素公式得电容电压uc(t)=uc(∞)+[uc(

3、0+)-uc(∞)]e-tτ=(50-20e-0.1t)V(t≥0)i(t)=uc-30V60Ω=1-e-0.1t3A(t>0)通过对三要素法的扩展,从数学推导和物理概念上揭示了用三要素法和用解微分方程的方法分析一阶动态电路的内在联系。典型的三要素法具有较强的使用性,每个要素可根据其物理概念在电路中求得,但应用范围有限。通过微分方程特解的方法求得第三个要素可扩大其应用范围,便于从本质上理解其物理含义,但应用较繁琐,因此,掌握它们的内在联系是很有必要的。但是利用三要素公式求解高阶线性暂态电路时，求解过程将会十分复杂。因此，有必要引入一种新的

4、方法求解高阶线性暂态电路。我们可以采用拉普拉斯变换，将各个时间函数转化为复变量s的函数，从而使常微分方程问题转化为代数方程问题，此方法成为复频域分析法。拉普拉斯变换式为：F(s)=L[f(t)]=-∞+∞f(t)e-stdt(5)由F(s)求f(t)的变换成为拉普拉斯逆变换，在数学计算中逆变换的一般公式是f(t)=L-1{F(s)}=12πjσ-j∞σ+j∞F(s)estds(6)此外，还要用到拉普拉斯变换的一些性质，如线性性质、微分性质、积分性质、延迟性质、位移性质等，在这里便不一一赘述。为了更好地理解拉普拉斯变换，我们用复频域分析法来

5、解一道二阶线性暂态电路的例题：、如图所示电路中，R=1Ω，L=1H，C=0.2F，g=1S，us=6ε(t)V，is=4C×δ(t)。试求t>0时的零状态响应uL及uC。解：对节点列方程如下1sL+1RU1s-1RUCs=US(s)sL-gUC(s)-1RU1s+sC+1RUCs=IS(s)其中电源的像函数为USs=Lus=6VsISs=Lis=4A∙s将电源的像函数带入方程，得：s+1U1s=6s-U1s+0.2s+1=4联立解得：U1s=6s(s+1)UCs=20s2+20s+30ss+1(s+5)UL(s)及UC(s)的展开式为UL

6、s=USs-U1s=6Vs+1UCs=6Vs-7.5Vs+1+21.5Vs+5逆变换得所求响应为uL=L-1{UL(s)}=6e-tV(t>0)uC=L-1{UC(s)}=(6-7.5e-t+21.5e-5t)V(t>0)若是本例题用三要素法求解，由于是二阶线性暂态电路，过程会相当繁琐。但是当用拉普拉斯变换将时域电路模型变换为复频域电路模型，使得动态电路转换成为电阻形式的电路时，问题便简单得多。拉普拉斯变换法对分析动态电路具有重要意义，它的变换域法思想对分析其它问题也具有重要意义。虽然复频域分析法的应用范围比三要素法要广，但是三要素分析法

7、也是线性暂态电路分析中重要的方法。因此，我们应该在练习中体会两种方法的中心思想，为以后的学习和研究提供广阔的思路。