中国矿业大学(徐州)09级大一上学期数学分析期末试题(A卷)及答案.doc

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1、中国矿业大学09～10学年第1学期《数学分析(1)》试卷(A)考试时间：120分钟考试方式：闭卷学院理学院班级__________姓名__________学号__________题号一二三总分得分一、叙述题(每题5分共20分)1．叙述在区间上有上确界的定义。2．叙述的定义，并叙述不是无穷大的定义。3.叙述闭区间上连续函数的介值性定理。4.叙述导数极限定理。二、计算题（每题5分共20分）1．设（），求。2．求曲线在对应点的切线方程。3．求。4．求的极值。三、证明题（每题10分共60分）1．设，证明数列收敛。2.设在连续，且，。证明在上一致连续。3.设，而，证明。4.设（1）求导函数；（2）证明

2、在点不连续；（3）证明在点的任何邻域不单调。5.证明不等式：，其中。6.设在具有二阶导数，且，证明对内任意个点有不等式其中参考答案一、叙述题(每题5分共20分)（略）二、计算题（每题5分共20分）1．设（），求。解取满足，由知，，当时，从而上式两边取极限并利用结论(为常数)和迫敛性得。2．求曲线在对应点的切线方程。解因为，所以当时，；。那么切线方程为即或当时，，故切线方程是3．求。解。或或4．求的极值。解，得稳定点0+0+0－↗无极值↗极大值↘或，得稳定点又，，所以在不取极值。，所以在取极大值。三、证明题（每题10分共60分）1．设，证明数列收敛。证显然递增，下证有上界。事实上，。于是由单调

3、有界定理，收敛。或由Cauchy准则，易知收敛。2.设在连续，且，都存在。证明在上一致连续。证因为存在，由Cauchy准则可知，，，当时，有。(1)又由存在，，当时，有。(2)另一方面在上连续，所以在一致连续。于是即对上述，，当，且就有。(3)这样，当，且时，(i)若，由(1)式，；(ii)若，由(2)式，；(iii)若或，则由(3)式，。根据定义，即得在上一致连续。或承上，在都是一致连续的，由书上例题结论在上一致连续。3.设，而，证明。证由，，当时，有由，对上面，，当时，有综上，，，当，有即4.设（1）求导函数；（2）证明在点不连续；（3）证明在点的任何邻域不单调。证(1)(2)因为，而不

4、存在（理由见后），易知(用反证法)不存在。所以在点不连续；事实上，取由归结原则不存在。(3)的任何邻域都不能保持相同符号。事实上，对一切正整数有而。故在的任何邻域内都不单调。5.证明不等式：，其中。证设，则在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得因为，所以从而。6.设在具有二阶导数，且，证明对内任意个点有不等式其中。证记，由Taylor展开上式两边乘再求和注意到，于是