2014肇庆一模理数.doc

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肇庆市中小学教学质量评估2014届高中毕业班第一次模拟考试数学（理科）2014-10-29本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：锥体的体积公式，其中S为锥体的底面积，为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M={大于且小于4的整数}，则A．fB．{-2，-1，5，6}C．{0，1，2，3，4}D．{-2，-1，4，5，6}2．定义域为R的四个函数，，，中，偶函数的个数是A．4B．3C．2D．13．设是虚数单位，，为复数的共轭复数，则A．B．C．D．4．二项式的展开式中的系数是A．84B．-84C．126D．-1265．某四棱锥的三视图如图1所示（单位：cm），则该四棱锥的体积是A．B．C．D．高三数学（理科）第12页共12页 6．若如图2所示的程序框图输出的S是30，则在判断框中M表示的“条件”应该是A．B．C．D．7．下列命题中，真命题是A．，；B．，；C．“”是“”的充分不必要条件；D．设，为向量，则“”是“”的必要不充分条件8．设向量，，定义一种向量积：．已知向量，，点P在的图象上运动，点Q在的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则在区间上的最大值是A．4B．2C．D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题）9．函数的定义域为▲.10．曲线在处的切线方程为▲.11．已知等比数列满足，则▲.12．在平面直角坐标系xOy中，P为不等式组所表示的平面区域内一动点，则线段|OP|的最小值等于▲.13．已知集合A={4}，B={1，2}，C={1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为▲.高三数学（理科）第12页共12页 （）▲14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为（），曲线C在点（2，）处的切线为l，以极点为坐标原点，以极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则l的直角坐标方程为▲.15．（几何证明选讲选做题）如图3，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，若，则DC=▲.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）已知向量，，，函数.（1）求函数的表达式；（2）求的值；（3）若，，求的值.17．（本小题满分13分）随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数是：，2；，7；，10；，x；[90，100]，2.其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图4所示，据此解答如下问题.（1）求样本的人数及x的值；（2）估计样本的众数，并计算频率分布直方图中的矩形的高；（3）从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.高三数学（理科）第12页共12页 18．（本小题满分13分）如图5，在直三棱柱中，D、E分别是BC和的中点，已知AB=AC=AA1=4，ÐBAC=90°.（1）求证：⊥平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求三棱锥的体积.19．（本小题满分14分）已知数列的前n项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设为数列{}的前n项和，求；（3）设，证明：.20．（本小题满分14分）设双曲线C：（a>0，b>0）的一个焦点坐标为（，0），离心率，A、B是双曲线上的两点，AB的中点M（1，2）.（1）求双曲线C的方程；（2）求直线AB方程；（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？21．（本小题满分14分）设函数.（1）若函数在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（2）当a=1时，求函数在区间[t，t+3]上的最大值.高三数学（理科）第12页共12页 肇庆市2014届高中毕业班第一次模拟考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题题号12345678答案DCABDBCA二、填空题9．10．11．1612．13．3314．15．三、解答题16．（本小题满分12分）解：（1）∵，，，∴，即函数.（3分）（2）（6分）（3）∵，又，∴，即.（7分）∵，∴.（8分）∴，（9分）.（10分）高三数学（理科）第12页共12页 ∴（11分）.（12分）17．（本小题满分13分）解：（1）由题意得，分数在之间的频数为2，频率为，（1分）所以样本人数为（人）（2分）的值为（人）.（4分）（2）从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为.（6分）由（1）知分数在之间的频数为4，频率为（7分）所以频率分布直方图中的矩形的高为（8分）（3）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6（人），成绩在90分以上(含90分)的人数为人，所以的取值为0，1，2.（9分），，，（10分）所以的分布列为：012（11分）所以的数学期望为（13分）高三数学（理科）第12页共12页 18．（本小题满分13分）方法一：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为＝4，所以A（0，0，0），B（4，0，0），E（0，4，2），D（2，2，0），B1（4，0，4）.（1分）（1），，.（2分）因为，所以，即.（3分）因为，所以，即.（4分）又AD、AEÌ平面AED，且AD∩AE=A，故⊥平面.（5分）（2）由（1）知为平面AED的一个法向量.（6分）设平面B1AE的法向量为，因为，，所以由，得，令y=1，得x=2，z=-2.即.（7分）∴，（8分）∴二面角的余弦值为.（9分）（3）由，，得，所以AD⊥DE.（10分）由，，得.（11分）由（1）得B1D为三棱锥B1-ADE的高，且，（12分）所以.（13分）方法二：依题意得，平面ABC，，，高三数学（理科）第12页共12页 ，.（1）∵，D为BC的中点，∴AD⊥BC.∵B1B⊥平面ABC，ADÌ平面ABC，∴AD⊥B1B.BC、B1BÌ平面B1BCC1，且BC∩B1B=B，所以AD⊥平面B1BCC1.又B1DÌ平面B1BCC1，故B1D⊥AD.（2分）由，，，得，所以.（4分）又AD、DEÌ平面AED，且AD∩DE=E，故⊥平面.（5分）（2）过D做DM⊥AE于点M，连接B1M.由B1D⊥平面AED，AEÌ平面AED，得AE⊥B1D.又B1D、DMÌ平面B1DM，且B1D∩DM=D，故AE⊥平面B1DM.因为B1MÌ平面B1DM，所以B1M⊥AE.故∠B1MD为二面角B1—AE—D的平面角.（7分）由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，又DEÌ平面B1BCC1，所以AD⊥DE.在Rt△AED中，，（8分）在Rt△B1DM中，，所以，即二面角B1—AE—D的余弦值为.（9分）（3）由（1）得，AD⊥平面B1BCC1，所以AD为三棱锥A-B1DE的高，且.（10分）由（1）得.（11分）故.（13分）19．（本小题满分14分）解：（1）由题意，当时，有，（1分）高三数学（理科）第12页共12页 两式相减得即.（2分）由，得.所以对一切正整数n，有，（3分）故，即.（4分）（2）由（1），得，所以①（5分）①两边同乘以，得②（6分）①-②，得，（7分）所以，（8分）故.（9分）（3）由（1），得（12分）（13分）.（14分）20．（本小题满分14分）高三数学（理科）第12页共12页 解：（1）依题意得，解得a=1.（1分）所以，（2分）故双曲线C的方程为.（3分）（2）设，则有.两式相减得：，（4分）由题意得，，，（5分）所以，即.（6分）故直线AB的方程为.（7分）（3）假设A、B、C、D四点共圆，且圆心为P.因为AB为圆P的弦，所以圆心P在AB垂直平分线CD上；又CD为圆P的弦且垂直平分AB，故圆心P为CD中点M.（8分）下面只需证CD的中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.由得：A（-1，0），B（3，4）.（9分）由（1）得直线CD方程：，（10分）由得：C（-3+，6-），D（-3-，6+），（11分）所以CD的中点M（-3，6）.（12分）因为，，，，（13分）所以，即A、B、C、D四点在以点M（-3，6）为圆心，为半径的圆上.（14分）高三数学（理科）第12页共12页 21．（本小题满分14分）解：（1）∵∴，（1分）令，解得（2分）当x变化时，，的变化情况如下表：0—0↗极大值↘极小值↗故函数的单调递增区间为（-∞，-1），（a，+∞）；单调递减区间为（-1，a）；（4分） 因此在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数在区间内恰有两个零点，当且仅当，（5分） 解得，所以a的取值范围是（0，）.（6分）（2）当a=1时，.由（1）可知，函数的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；.（7分）①当t+3<-1，即t<-4时，因为在区间[t，t+3]上单调递增，所以在区间[t，t+3]上的最大值为；（9分） ②当，即时，因为在区间上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递高三数学（理科）第12页共12页 增，且，所以在区间上的最大值为.（10分）由，即时，有[t，t+3]Ì，-1Î[t，t+3]，所以在上的最大值为；（11分）③当t+3>2，即t>-1时，由②得在区间上的最大值为.因为在区间（1，+∞）上单调递增，所以，故在上的最大值为.（13分）综上所述，当a=1时，在[t，t+3]上的最大值.（14分）高三数学（理科）第12页共12页