高三数学第一轮知识点总复习18.ppt

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1、第七节随机数与几何概型基础梳理1.几何概型的概念事件A理解为区域Ω的某一子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量成正比，而与A的位置和形状无关，此种试验称为几何概型.2.几何概型的特点（1）无限性：即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的.（2）等可能性：即每个基本事件发生的可能性是均等的.3.几何概型的计算公式设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（AΩ）,则P（A）=4.几何概型与古典概型的区别与联系（1）共同点：基本事件都是等可能的.（2）不同点：基本事件的个数一个是无限的，一个是有限的.基本事件可以抽

2、象为点，对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与该区域的位置和形状无关.5.均匀随机数在一定范围内随机产生的数，其中每一个数产生的机会都是一样的，通过模拟一些试验，可以代替我们进行大量的重复试验，从而求得几何概型的概率.一般地，利用计算机或计算器的rand()函数可以产生0-1之间的均匀随机数.a-b之间的均匀随机数的产生：利用计算机或计算器产生0-1之间的均匀随机数x=rand()，然后利用伸缩和平移变换x=rand()*(b-a)+a,就可以产生[a,b]上的

3、均匀随机数，试验的结果是产生a-b之间的任何一个实数，每一个实数都是等可能的.6.均匀随机数的应用（1）用随机模拟法估计几何概率;（2）用随机模拟法计算不规则图形的面积.典例分析题型一与长度、角度有关的几何概型【例1】（2009·盐城模拟）某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过7分钟的概率.分析因为乘客在两车间隔的10分钟内任何时刻都可能到，所以该事件包含的基本事件是无限多个，并且每个事件发生的可能性都是一样的，故是几何概型问题.解每个乘客可在相邻两班车之间的任何一个时刻到达车站，因此每个乘客

4、到达车站的时刻t可以看成是均匀落在长为10分钟的时间区间(0,10]上的一个随机点，等待时间不超过7分钟则是指点落在区间[3,10]上.设第一辆车于时刻T1到达，而第二辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长度等于7.如图所示.记“等车时间不超过7分钟”为事件A，事件A发生即点t落在线段TT2上，则Ω的长度=T1T2=10,A的长度=TT2=7,所以P（A）=A的长度/Ω的长度=7/10.故等车时间不超过7分钟的概率是7/10.学后反思我们将每一个事件理解为从某个特定的区域内随机地取一点，该区域中每一点

5、被取到的机会都一样，而一个事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定的区域内的点，这样的概率模型就可以用几何概型求解.1.（2009·山东）在区间［-1，1］上随机取一个数x,的值介于0到12之间的概率为()A.B.C.D.举一反三解析：在区间［-1,1］上随机取一个实数x，的值位于［0,1］区间，若使的值位于区间，取到的实数x应在区间内，根据几何概型的计算公式可知答案：A题型二与面积（体积）有关的几何概型【例2】在1升高产小麦种子中混入了一种带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，则取出的种子中含有麦锈病的种子的概率是多少？分析因为带病种子的

6、位置是随机的，所以取到这种带病种子概率只与取出的种子的体积有关.解病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫升种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率.取出10毫升种子其中“含有病种子”这一事件记为A，则所以取出的种子中含有麦锈病种子的概率是0.01.学后反思解决此类问题，应先根据题意确定该试验为几何概型，然后求出事件A和基本事件的几何度量，借助几何概型的概率计算公式求出.举一反三2.设有一均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间［0，1］上的诸数字，另一半均匀地刻上区间［1，3］上

7、的诸数字，旋转这陀螺，求它停下时，其圆周上触及桌面的刻度位于［0.5，1.5］上的概率.解析：如图，旋转陀螺，其圆周上任一点与桌面的接触是等可能的，因此只要接触点落在阴影部分，就表示圆周上触及桌面的刻度位于［0.5，1.5］.由几何概型的求概率公式得题型三会面问题中的概率【例3】两人约定在20:00到21:00之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去.如果两人出发是各自独立的，在20:00至21:00各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率.分析两人不论谁先到都要等40分钟，即2/3小时,设两人到的时间分别为x、y,则当且

8、仅当

9、x-y

10、≤2/3时，两人才能见面，因而此问题转化为面积性几何概型.解设两人分别于x时和y时到达约见地点，要使两人能在约定的时间范围