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1、（1）已知四边形ABCD，∠ABC=30°∠ADC=60°AD=DC，求证BD=AB+BC方法一：把△ABD绕D逆时针旋转60°,∵AD=DC ∴旋转后的△DCP≌△DAB,∠BDP=60°BD=BP,∴等边三角形BDP,BP=BD.又∵∠ABD+∠CBD=30° ∴∠CBD+∠CPD=30°，∴BC⊥CP(是可以证的，∵∠BPD+∠DBC+∠DPC=直角BCP) ∴BC²+CP²=BP²∵CP=AB,BP=BD 如图1方法二：做BP⊥AB,且使BP=BC,连接AP,AC,PC.∵AD=DC,∠ADC=60°∴等边三角形
2、ADC ∵BA⊥BP,∠ABC=30°∴∠PBC=60°∴等边三角形PBC ∵AC=DC,∠ACP=∠DCB,PC=BC ∴△ACP≌△DCB(SAS)∴AP=BD 又∵RT△ABP∴AB²+BP²=AP² ∵BP=BC，AP=BD 如图2如图所示，在凸四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，求证：BD²=AB²+BC²如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．16 解：分析:待证明的等式说明AB,BC,BD
3、三条线段可组成一个直角三角形.因此,应设法将它们集中到一起.从条件容易知道,三角形ADC是一个正三角形.这样,就可一将三角形BCD作旋转变换.得到以下证明方法:证明:连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°则△ACD是等边三角形.过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE则∠EBC=90°－∠ABC=90°－30°=60°∴△BCE是正三角形,又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°∴∠ACE=∠DCB又DC=AC,BC=CE所以△DCB≌△ACE所以AE=BD在直角三角形ABE中AE^2=AB
4、^2＋BE^2即BD^2=AB^2＋BC^2证明:过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC16BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DCBC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△A
5、BE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DCBC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方解答:分析从结论想办法.结论是BD=AB+BC,是勾股定理的表达式，因此要通过变形,构造直角三角形,使BD为斜边,AB、BC为直角边。为此我们过点B作BE垂直AB于B,使BE=BC，点E、C在直线AB同旁，连
6、结CE，则三角形BCE为等边三角形。连结AE、BD，在三角形ACE和三角形BCD中，BC=CE，CD=AC，∠ACE=60度+∠ACB，∠BCD=60度+∠ACB，所以∠ACE=∠BCD所以三角形BCD全等于三角形ACE，于是AE=BD；在三角形ABE中，∠ABE=90度，所以，AE=AB+BE,BE=BC,AE=AB+BC所以，BD=AB+BC162.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，连接AC、BD．在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边三角形BCE，连接AE．（1）求证：BD=AE；（2）若AB=2，BC=3
7、，求BD的长． (1)略；（2）BD=.【解析】试题分析：（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等边三角形，又由△BCE是等边三角形，可证得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE；（2）由△BCE是等边三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的长，即可求得BD的长．试题解析：证明：∵在△ADC中，AD=DC，∠ADC=60°，∴△ADC是等边三角形，∴DC=AC，∠DCA=60°；又∵△BCE是等边三角形，∴CB=CE，∠BCE=60°，∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，即∠DCB=∠ACE，在
8、△BDC和△EAC中，，16∴△BDC≌△EAC（SAS），∴BD=AE；（2）
