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《离散数学配套习题 作者 陈志奎 离散数学-第7章习题.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第7章习题：1.指出下述各代数系统哪些是半群，哪些是拟群，并说明理由。（1）Z;-。（2）C;×。（3）S≠∅ps;∪。（4）Mm,nQ;+。（5）Zn;⊕，⊕为同余类的加法运算。2.判断下列集合关于指定的运算是否构成半群，独异点和群。（1）a是正实数，G=ann∈Z，运算是普通乘法。（2）Q+为正有理数，运算是普通乘法。（3）Q+为正有理数，运算是普通加法。（4）一元实系数多项式的集合关于多项式的乘法。（5）一元实系数多项式的集合关于多项式的加法。3.指出下列代数系统中哪些是群，哪些是可交换群，并说明理由。（1）Z;⊕，其中⊕定义如下：任意a,b∈Z,a⊕b=a+b-2。（2）1的n次根
2、（包含复根与实根），关于乘法的运算。（3）R*;*，其中*定义如下：任意a,b∈R,a*b=a2b2,R*=R-0。（4）Fx;+，其中Fx=a0+···+anxnai∈R,i=1,···,n;n∈N，+为多项式加法运算。（5）a+b2a,b∈Q;+。4.S=a,b,c,*是S上的二元运算，且∀x,y∈S,x*y=x.（1）证明S关于*运算构成半群。（2）试通过增加最少的元素使得S扩张成一个独异点。5.给定半群S,*,a∈S,对于S中的任意元x和y,定义二元运算如下：x⊕y=x*a*y试证：R,⊕是半群。6.给定代数结构R,*，其中R是实数集合，对R中任意元a和b，*定义如下：a*b=a+
3、b+ab试证：R,*是独异点。7.已知G,·为不可交换群，证明必存在a,b∈G,a≠b,a≠e,b≠e,但ab=ba。8.设S=0,1,2,3,⊗为模4乘法，即：∀x,y∈S,x⊗y=xymod4问S,⊗构成什么代数系统半群，独异点，群？并说明理由。9.给定群G,*,且H=xa,x∈Gx*a=a*x,试证H,*是G,*的子群。10.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N(a)表示G中与a可交换的元素构成的集合，即：Na=xx∈G⋀xa=ax证明N(a)是G的子群。11.设G=a，G=n，证明：它的任意子群是循环群。12.设G=a是15阶循环群：（1）求出G的所有生成元。（2）求出G的所
4、有子群。13.下面集合关于数的加法+，与乘法·是否成环？（1）a+b5a,b∈Z（1）a+b2+c3a,b,c∈Z（2）非负整数集D1.下列系统是否是环，并说明理由。（1）n阶方阵，关于矩阵的加法与乘法。（2）区间[-1,1]上所有实连续函数，关于函数的加法与乘法。（3）R;+,·，R为实数集，+为实数加法，·定义为a,b∈R,a·b=ab。2.给定环R;+,·且a,b,c,d∈R.试证：（1）a+b·c+d=a·c+b·c+a·d+b·d.（2）若a·b=b·a=0,则(a+b)n=an+bn.3.设a和b是含幺环R中的两个可逆元，证明：（1）-a也是可逆元，且-a-1=-a-1.（2）
5、ab也是可逆元，且(ab)-1=b-1a-1.4.设R是环，令：C={xx∈R⋀∀a∈R(xa=ax)}C称作R的中心，证明C是R的子环。5.给定域R,+,·，且S⊆R，S定义为：S={a+b2a,b∈Q}其中R，Q分别为实数集合和有理数集合。试证：S,+,·为R,+,·的子域。
