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1、1.1设θ是一批产品的不合格率，已知它不是0.1就是0.2，且其先验分布为（0.1）=0.7π（0.2）=0.3.假如从这批产品中随机抽取8个进行检查，发现有两个不合格品。求θ的后验分布。解：令设A为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则从而有1.2设一卷磁带上的缺陷数服从泊松分布P（λ），其中λ可取1和1.5中的一个，又设λ的先验分布为π（1）=0.4π（1.5）=0.6.假如检查一卷磁带发现了3个缺陷，求λ的后验分布。解：令设X为一卷磁带上的缺陷数，则从而有1.3设θ是一批产品的不合格率，从中抽取8个产品进行检验，发现3个不合格品，假如先验分布为（1）θ～u(0,1)(2)θ~π(θ)=解
2、：设A为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则（1）由题意知从而有（2）1.10从正态总体N（0，4）中随机抽取容量为100的样本，又设θ的先验分布为正态分布。证明；不管先验标准差为多少，后验标准差一定小于1/5.证明：设又由于是的充分统计量，从而有因此又由于所以的后验标准差一定小于2.1设随机变量x服从几何分布P(X=x)=θ(1-θ),x=0,1,…其中参数θ的先验分布为均匀分布U（0，1）（1）若只对X作一次观察，观察值为3，求θ的后验期望估值。（2）若对X作三次观察，观察值为3，2，5，求θ的后验期望估值。解：由题意可知设是从随机变量X中抽取的随机样本，则从而有所以（1）由题意可知n=
3、1,x=3（2）由题意可知2.5.设x,…,x是来自正态分布N（θ，4）的一个样本，又设θ的先验也是正态分布，且其标准差为1，若要使后验方差不超过0.1，最少要取多少样本量。解:设，则令设，则，且其中2.10.对正态分布N（θ，1）作观察，获得三个观察值；2，4，3，若θ的先验分布为N（3，1），求θ的0.95可信区间。解：已知设的后验分布为可得：由已知得：，所以的95％的可信区间为：即为.3.8.对以下的每个分布中的未知参数使用fisher信息量决定jeffreys先验。（1）泊松分布P(θ)(2)二项分布b(n,θ)(n已知)（3）负二项分布Nb(m,θ)(m已知)(4)伽玛分布Ga(α,
4、λ)(λ已知)（5）)伽玛分布Ga(α,λ)(α已知)（6）伽玛分布Ga(α,λ)解：（1）由题意可知设是来自X的简单随机样本，则对上式分别求一阶导、二阶导得（2）由题意可知设是来自X的简单随机样本，则对上式分别求一阶导、二阶导得（3）由题意可知设是来自X的简单随机样本，则对上式分别求一阶导、二阶导得（4）由题意可知设是来自X的简单随机样本，则对上式分别关于求一阶导、二阶导得(5)由题意可知设是来自X的简单随机样本，则对上式分别关于求一阶导、二阶导得（6）由题意可知设是来自X的简单随机样本，则对上式分别关于求导得令，则3.9.设X～p(x
5、),的jeffreys先验为,i=1,2,…,k.若诸
6、X相互独立,证明;…)的jeffreys先验为。证明：由题意可知由于各独立，因此有由上式可得出因此有所以4.1某公司准备经营一种新产品，可采取的行动有：大批，中批和小批生产。市场可能出现的销售状态有：畅销，一般和滞销。如大批生产，在畅销时可获利100万，一般时可获利30万，滞销时亏损60万；如中批生产，在三种市场情况下可获利50万，40万和亏损20万；如小批生产，在三种市场情况下可获利10万，9万和亏损6万。（1）写出收益矩阵。（2）在悲观准则下，该公司的最优行动是什么？（3）在乐观准则下，该公司的最优行动是什么？（4）若乐观系数α=0.8，该公司的最优行动是什么？解：令；（1）（2）因此，在
7、悲观准则下，最优行动为（3）因此，在乐观准则下，最优行动为（4）因此，在乐观系数为0.8时，最优行动为4.2某作家准备写一本书，为此要与出版社签署一项合同，合同书上规定每千字稿酬与发行量挂钩，如今有二种合同书a与a,发行量也分三种：5万册以上（），2万册到5万册之间（），1万册以下（），两种合同书上对稿酬（单位：元/千字）规定如下：aaQ=（1）若该作家对自己的创作充满信心，在乐观准则下的最优行动是什么?（2）若该作家对自己的创作把握不大，在悲观准则下的最优行动是什么？（3）若该作家对自己的创作有七成把握，愿以α=0.7作为乐观系数，在折中准则下的最优行动是什么？（1）因此，在乐观准则下，最优
8、行动为（2）因此，在悲观准则下，最优行动为（3）因此，在乐观系数为0.7时，最优行动为
